Выступал за молодёжные команды «Вилье-ле-Бель» и «Санлис». В июле 2014 года стал игроком футбольной академии «Парижа»[1]. В основном составе «Парижа» дебютировал 11 декабря 2016 года в матче Лиги 2 против «Ланса»[2]. 8 января 2016 года забил первый гол в своей профессиональной карьере в игре против «Тура»[3].
В июле 2016 года перешёл в «Реймс». 12 декабря 2016 года дебютировал за клуб в матче против «Орлеана»[4]. В сезоне 2017/18 помог «Реймсу» выиграть Лигу 2, сыграв в ней 13 матчей и забив 1 мяч. 25 августа 2018 года дебютировал во французской Лиге 1, выйдя на замену Реми Удену на 39-й минуте игры против «Амьена»[5]. 23 ноября 2019 года забил свой первый гол в Лиге 1 в матче против «Меца»[6].
В начале августа 2020 года Дисаси подписал пятилетний контракт с «Монако»[7].
4 августа 2023 Аксель Дисаси стал игроком английского «Челси», заключив контракт на шесть лет. Сумма трансфера составила 45 млн. евро[8]. Он отметился голом уже в первом матче за новый клуб в игре с «Ливерпулем»[9].
4 февраля 2025 года Дисаси перешёл в «Астон Виллу» на правах аренды до конца сезона 2024/25. Сообщается, что сумма аренды составила 5 миллионов фунтов, а клуб также покроет его зарплату[10][11].