Меню Главная Случайная статья Настройки Дифференцирование тригонометрических функций Материал из https://ru.wikipedia.org Функция Производная ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle -\sin(x)}$ ${\displaystyle \tan(x)}$ ${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \cot(x)}$ ${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sec(x)}$ ${\displaystyle \sec(x)\tan(x)}$ ${\displaystyle \csc(x)}$ ${\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\displaystyle \arccos(x)}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ Дифференцирование тригонометрических функций — математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла. Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью правила частного[англ.], применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования. Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения[1]. Содержание 1 Доказательства производных тригонометрических функций 1.1 Предел sin()/ при стремлении к 0 1.2 Предел (cos()-1)/ при стремлении к 0 1.3 Предел tan()/ при стремлении к 0 1.4 Производная функции синуса 1.4.1 Из определения производной 1.4.2 Из производной гиперболических функций 1.5 Производная функции косинуса 1.5.1 Из определения производной 1.5.2 Из производной гиперболических функций 1.5.3 Из цепного правила 1.6 Производная функции тангенса 1.6.1 Из определения производной 1.6.2 Из производной гиперболических функций 1.6.3 Из правила частного 2 Доказательства производных обратных тригонометрических функций 2.1 Дифференцирование функции арксинуса 2.1.1 Из производной обратной гиперболической функции 2.2 Дифференцирование функции арккосинуса 2.2.1 Из производной обратной гиперболической функции 2.3 Дифференцирование функции арктангенса 2.3.1 Из производной обратной гиперболической функции 2.4 Дифференцирование функции арккотангенса 2.4.1 Из производной обратной гиперболической функции 2.5 Дифференцирование функции арксеканса 2.5.1 Использование неявного дифференцирования 2.5.2 Использование цепного правила 2.6 Дифференцирование функции арккосеканса 2.6.1 Использование неявного дифференцирования 2.6.2 Использование цепного правила 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Доказательства производных тригонометрических функций Предел sin()/ при стремлении к 0 На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда стремится к нулю, мы можем предположить, что — это небольшое положительное число, скажем, 0 < < в первом квадранте. На схеме пусть R1 будет треугольником OAK, R2 — круговым сектором KOA и R3 — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK: ${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OK|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}$ Площадь кругового сектора OAK — это ${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }$, а площадь треугольника OAL определяется как ${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AL|={\tfrac {1}{2}}\ |AL|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta .}$ Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем: ${\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$ Более того, поскольку sin > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на sin , получив: ${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}$ На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство. Мы пришли к выводу, что для 0 < < выражение sin()/ будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(). Таким образом, чем ближе к 0, тем сильнее sin()/ становится "сжатым" между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos , который стремится к 1; следовательно, sin()/ стремится к 1, когда стремится к 0 с положительной стороны: ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$ Для случая, когда — это небольшое отрицательное число - < <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция: ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$ Предел (cos()-1)/ при стремлении к 0 Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак неважен. ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$ С использованием cos2 – 1 = –sin2, факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что: ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$ Предел tan()/ при стремлении к 0 Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим: ${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}$ Производная функции синуса Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$ Используя формулы сложения углов sin(+) = sin cos + sin cos , мы имеем: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$ Использование пределов для функций синуса и косинуса: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}$ Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что: ${\displaystyle {d \over dx}\sin(x)=-{d \over dx}i\operatorname {sh} (ix)=\operatorname {ch} (ix)=\cos(x)}$, т.к. ${\displaystyle \sin(x)={\exp(ix)-\exp(-ix) \over 2i}={\operatorname {sh} (ix) \over i}=-i\operatorname {sh} (ix);}$ ${\displaystyle \cos(x)={\exp(ix)+\exp(-ix) \over 2}=\operatorname {ch} (ix)}$ Производная функции косинуса Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$ Используя формулу сложения углов cos(+) = cos cos – sin sin , мы имеем: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$ Использование пределов для функций синуса и косинуса: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$ Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что: ${\displaystyle {d \over dx}\cos(x)={d \over dx}i\operatorname {ch} (ix)=i\operatorname {sh} (ix)=-\sin(x)}$ Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта: ${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ ${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$ Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее: ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$ Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив ${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }$, мы имеем: ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$. Таким образом, мы доказали, что ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$. Производная функции тангенса Чтобы вычислить производную функции тангенса tan , мы используем первые принципы. По определению: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}$ Используя известную формулу угла tan(+) = (tan + tan ) / (1 - tan tan ), мы имеем: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}$ Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$ Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan стремится к 0, поскольку стремится к 0: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$ Сразу видим, что: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$ ${\displaystyle {d \over dx}\tan(x)=-i{d \over dx}\operatorname {th} (ix)=-i{i \over \operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 \over \operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 \over \cos ^{2}(x)}}$ Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$ Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам: ${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$ Следовательно, ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$ Доказательства производных обратных тригонометрических функций Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x. Дифференцирование функции арксинуса Пусть ${\displaystyle y=\arcsin x\ ,}$ где ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.}$ Тогда ${\displaystyle \sin y=x\ .}$ Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем: ${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x,}$ ${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .}$ Подставляя сверху ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$, имеем: ${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$ Подставляя сверху ${\displaystyle x=\sin y}$, имеем: ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$ ${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\displaystyle {d \over dx}\arcsin(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arsh} (ix)=-i{i \over {\sqrt {1+i^{2}x^{2}}}}={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$ Дифференцирование функции арккосинуса Пусть ${\displaystyle y=\arccos x\,\!}$ где ${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$ Тогда ${\displaystyle \cos y=x\,\!}$ Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем: ${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$ ${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}$ Подставляя сверху ${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$, получаем: ${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$ Подставляя сверху ${\displaystyle x=\cos y\,\!}$, получаем: ${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$ ${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ В качестве альтернативы, как только производная от ${\displaystyle \arcsin x}$ установлена, производная от ${\displaystyle \arccos x}$ сразу следует путём дифференцирования тождества ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ так, что ${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$. ${\displaystyle {d \over dx}\arccos(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arch} (ix)=-i{i \over {\sqrt {i^{2}x^{2}-1}}}=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$ Дифференцирование функции арктангенса Пусть ${\displaystyle y=\arctan x\,\!}$ где ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ Тогда ${\displaystyle \tan y=x\,\!}$ Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем: ${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$ Левая сторона: ${\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}$, используя пифагорово тождество Правая сторона: ${\displaystyle {d \over dx}x=1}$ Следовательно, ${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$ Подставляя сверху ${\displaystyle x=\tan y\,\!}$, получаем: ${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$ ${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ ${\displaystyle {d \over dx}\arctan(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arth} (ix)=-i{i \over 1-i^{2}x^{2}}={1 \over 1+x^{2}}}$ Дифференцирование функции арккотангенса Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$ где ${\displaystyle 0<y<\pi }$ Тогда ${\displaystyle \cot y=x}$ Взяв производную по ${\displaystyle x}$ с обеих сторон и решив для ${\displaystyle dy/dx}$, имеем: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$ Левая сторона: ${\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}$, используя пифагорово тождество Правая сторона: ${\displaystyle {d \over dx}x=1}$ Следовательно, ${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$ Подставляя ${\displaystyle x=\cot y}$, получаем: ${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$ ${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot}(x)=i{d \over dx}\operatorname {arcth} (ix)=i{i \over 1-i^{2}x^{2}}=-{1 \over 1+x^{2}}}$ Дифференцирование функции арксеканса Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}$ Тогда ${\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$ (Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.) ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила. Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$ где ${\displaystyle |x|\geq 1}$ and ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$ Тогда, применяя цепное правило к ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$, имеем: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ Дифференцирование функции арккосеканса Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}$ Тогда ${\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$ (Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.) ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила. Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ где ${\displaystyle |x|\geq 1}$ and ${\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$ Тогда, применяя цепное правило к ${\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$, имеем: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$ См. также Тригонометрия Математический анализ Производная функции Таблица производных Примечания Производные тригонометрических функций  (рус.). math24.ru. Math24. Дата обращения: 7 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года. Литература Справочник по математическим функциям[англ.], Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964) Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (рус.). — 4. — Москва: Наука, 1970. — Т. 1. — 672 с.