Меню Главная Случайная статья Настройки Длина модуля Материал из https://ru.wikipedia.org Длина модуля — способ измерения «размера» модуля, обобщающий понятие размерности векторного пространства. Длина определяется как максимальная длина цепочки вложенных подмодулей. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Литература Определение Пусть M — (левый или правый) модуль над кольцом R. Мы говорим что длина цепочки его подмодулей вида ${\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}}$ равна n, то есть считаем число строгих включений, а не число подмодулей. Длина модуля M — это наибольшая длина цепочки среди всех цепочек его подмодулей. Если наибольшей длины цепочки не существует, длина M равна бесконечности. Примеры Единственный модуль длины 0 — нулевой модуль. Модули длины 1 называются простыми. Для конечномерного векторного пространства длина совпадает с размерностью. Длина циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ равна числу множителей в разложении n на простые. Свойства Модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является артиновым и нётеровым. Пусть ${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$ является короткой точной последовательностью модулей. В этом случае M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, причём длина M равна сумме их длин. В частности, длина прямой суммы модулей равна сумме длин компонент. Литература Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) — ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6 Barile, Margherita. Module Length на сайте Wolfram MathWorld.