В 2005 году отыграл первый матч на профессиональном уровне — в первой лиге чемпионата России за фарм-клуб ярославского «Локомотива», за который играл до 2008. В 2008—2009 права на хоккеиста принадлежали минскому «Керамину», но половину сезона Дрозд отыграл в аренде. С 2009 играл за клуб Западной хоккейной лиги «Трай-Сити Американс». В 2010 подписал контракт с минским клубом «Динамо», где играл до 2017 года. В 2017 перешел в минскую Юность.