Меню Главная Случайная статья Настройки Единичная окружность Материал из https://ru.wikipedia.org Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат[1]. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций. Содержание 1 Свойства и связанные понятия 2 Тригонометрические функции 3 Комплексная плоскость 4 Радианная мера 5 Вариации и обобщения 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Свойства и связанные понятия Внутренность единичной окружности называется единичным кругом. Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности. Тригонометрические функции С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг). Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку ${\displaystyle (x,y)}$ на единичной окружности с началом координат ${\displaystyle (0,0)}$, получается отрезок, находящийся под углом ${\displaystyle \alpha }$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим[2]: ${\displaystyle \cos \alpha =x}$, ${\displaystyle \sin \alpha =y}$. При подстановке этих значений в уравнение окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ получается: ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$. Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»: ${\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}$ для всех целых чисел ${\displaystyle k}$, то есть для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Комплексная плоскость В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1: ${\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \}}$ Любое ненулевое комплексное число ${\displaystyle z}$ может быть однозначно записано в виде ${\displaystyle z=|z|u,}$ где число ${\displaystyle u}$ имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности, Множество ${\displaystyle G}$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, ${\displaystyle G}$ содержит важные в алгебре конечные группы корней ${\displaystyle n}$-й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного ${\displaystyle n}$-угольника. Радианная мера Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла)[3]. Вариации и обобщения Понятие единичной окружности обобщается до ${\displaystyle n}$-мерного пространства (${\displaystyle n>2}$), в таком случае говорят о «единичной сфере». Примечания MathWorld. Гельфанд и др., 2002, с. 24—27. Гельфанд и др., 2002, с. 7—8. Литература Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X. Ссылки Weisstein, Eric W. Unit Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.