Родился в семье чеха и швейцарки в Москве, но после Октябрьской революции, когда Евгению было 2 года, семья эмигрировала в Женеву. Валашек выступал в «Серветте», «Урании» и «Янг Бойз». В сборной он дебютировал в 1937 году в игре с Австрией, когда ему ещё не было предоставлено швейцарское гражданство. На чемпионате мира 1938 Валашек отметился голом в ворота сборной Германии.
После окончания карьеры, Валашек работал экономистом в финансовом управлении Женевы и параллельно тренировал клуб «Этоле-Спортинг». Про Валашека было снято кино «Мечта Валашека». В 2008 году в издательстве Limmat Verlag вышла книга Джованни Ориели "Мечта Валашека"[1]. Евгений Валашек был до последнего времени единственным живым футболистом швейцарской сборной образца 1938 года.