Меню Главная Случайная статья Настройки Задача о покрытии полосками Материал из https://ru.wikipedia.org Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так: Доказать, что круг диаметра ${\displaystyle d}$ нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше ${\displaystyle d}$. Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей. Содержание 1 О доказательстве 2 Вариации и обобщения 3 См. также 4 Примечания 5 Литература О доказательстве В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар. Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом. Вариации и обобщения В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.[1] Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом: Предположим, выпуклое тело ${\displaystyle K}$ покрыто конечным числом полосок с ширинами ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$, и ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ есть ширины ${\displaystyle K}$ в соответствующих направлениях. Доказать, что ${\displaystyle {\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.}$ См. также Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства. Примечания King, Jonathan L. Three problems in search of a measure (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1994. — Vol. 101. — P. 609—628. — doi:10.2307/2974690. Архивировано 6 ноября 2018 года. Литература И.М. Яглом. Т. Банг — В. Фенхель. Решение одной задачи о покрытии выпуклых фигур (рус.) // Матем. просв., сер. 2. — 1957. — № 1. — С. 214—218. R. Alexander. A problem about lines and ovals (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75, no. 5. — P. 482—487. Bezdek, Kroly. Tarski’s plank problem revisited // Geometry—intuitive, discrete, and convex. — 2013. — С. 45—64. Gardner, Richard. Relative width measures and the plank problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1988. — Vol. 135, no. 2. — P. 299—312. Bang, Thger (1950), On covering by parallel-strips., Mat. Tidsskr. B.: 49–53