Родился 1 марта 1947 года в городе Житомире (Украина) в семье военного лётчика. Русский. Член КПСС с 1974 года. Окончил 11 классов.
В Советской армии с 1965 года. В 1968 году окончил Сызранское высшее военно-авиационное училище лётчиков[1] (по курсу среднего военного училища). Проходил службу в Краснознамённых Дальневосточном, Белорусском и Туркестанском военных округах, в Группе советских войск в Германии.
С 1980 года Е. И. Зельняков — в составе ограниченного контингента советских войск в Афганистане, где совершил более 500 боевых вылетов.
Проходил службу в должности заместителя командира вертолётного полка.
В 1992 году вышел в запас по состоянию здоровья. Проживает в городе Зеленоград.
Звание Герой Советского Союза
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 7 мая 1982 года подполковнику Зельнякову Евгению Ивановичу — "За мужество и героизм, проявленные при оказании интернациональной помощи Демократической Республике Афганистан, присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11474).