Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Игра Пенни — нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни[фр.].
Содержание
Описание
Описание парадокса впервые было опубликовано в октябре 1969 года в журнале «Journal of Recreational Mathematics». Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.
Мартин Гарднер по этому поводу пишет:
Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.
В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов.
|
|
000 |
001 |
010 |
011 |
100 |
101 |
110 |
111
|
| 000
|
|
1/2 |
2/5 |
2/5 |
1/8 |
5/12 |
3/10 |
1/2
|
| 001
|
1/2 |
|
2/3 |
2/3 |
1/4 |
5/8 |
1/2 |
7/10
|
| 010
|
3/5 |
1/3 |
|
1/2 |
1/2 |
1/2 |
3/8 |
7/12
|
| 011
|
3/5 |
1/3 |
1/2 |
|
1/2 |
1/2 |
3/4 |
7/8
|
| 100
|
7/8 |
3/4 |
1/2 |
1/2 |
|
1/2 |
1/3 |
3/5
|
| 101
|
7/12 |
3/8 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
|
1/3 |
3/5
|
| 110
|
7/10 |
1/2 |
5/8 |
1/4 |
2/3 |
2/3 |
|
1/2
|
| 111
|
1/2 |
3/10 |
5/12 |
1/8 |
2/5 |
2/5 |
1/2 |
|
Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше, и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100, только если 000 встретится в самом начале
случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.
Оптимальная стратегия для первого игрока (для любой длины последовательности не менее 4) была найдена венгерским математиком и криптографом Яношем Чириком[2].
См. также
Примечания
-
Гарднер Мартин. Путешествие во времени = Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. — М.: «Мир», 1990. — С. 75. — 341 с. — ISBN 5-03-001166-8.
- Jnos A. Csirik. Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game // Combinatorics, Probability and Computing. — Cambridge University Press, 1992. — Вып. 1. — С. 311—321. — doi:10.1017/S0963548300000365.
Ссылки
|
|