Меню Главная Случайная статья Настройки Изотермо-изобарический ансамбль Материал из https://ru.wikipedia.org Изотермо-изобарический ансамбль — статистический ансамбль, отвечающий физической системе, в которой поддерживается постоянное внешнее давление ${\displaystyle p}$, а также обменивающейся энергией с термостатом и находящейся с ним в тепловом равновесии. При этом число частиц ${\displaystyle N}$ в системе считается постоянным, а объём ${\displaystyle V}$ может флуктуировать. Будем в дальнейшем дополнительно отмечать величины, зависящие от микросостояния системы, значком "${\displaystyle {\hat {}}}$" : ${\displaystyle {\hat {V}},{\hat {H}}}$. Функция распределения Для нахождения равновесной функции распределения ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$ будем использовать общий вариационный принцип: в состоянии равновесия ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$ должна иметь вид, обеспечивающий максимум информационной энтропии при условии заданного типа контакта с окружающей средой. В применении к изотермо-изобарическому ансамблю это означает, что нужно искать ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$ со следующими свойствами: ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$ — экстремаль энтропийного функционала[1] ${\displaystyle S[{\hat {\rho }}_{\hat {V}}]=-\langle \ln {{\hat {\rho }}_{\hat {V}}}\rangle =-\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}\,{\hat {\rho }}_{\hat {V}}\ln {{\hat {\rho }}_{\hat {V}}}}$ Здесь и далее индексом ${\displaystyle {\hat {V}}}$ обозначается зависимость от объёма системы. Условие нормировки: ${\displaystyle \langle 1\rangle =\int \,d{\hat {V}}\,\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}\,{\hat {\rho }}_{\hat {V}}=1}$ Условие на среднее значение энергии: ${\displaystyle E=\langle {\hat {H}}_{\hat {V}}\rangle }$ Условие на среднее значение объёма системы: ${\displaystyle V=\langle {\hat {V}}\rangle }$ Это задача на поиск условного экстремума функционала ${\displaystyle S[{\hat {\rho }}_{\hat {V}}]}$. Перейдём методом неопределённых множителей Лагранжа к задаче на безусловный эктремум функционала ${\displaystyle {\widetilde {S}}[{\hat {\rho }}_{\hat {V}}]}$ : ${\displaystyle {\widetilde {S}}=S+\alpha _{1}\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}{\hat {\rho }}_{\hat {V}}+\alpha _{2}\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}{\hat {H}}_{\hat {V}}{\hat {\rho }}_{\hat {V}}+\alpha _{1}\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}{\hat {V}}{\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$ Его вариация: ${\displaystyle \delta {\widetilde {S}}=\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}\delta {\hat {\rho }}_{\hat {V}}\left[\alpha _{1}+\alpha _{2}{\hat {H}}_{\hat {V}}+\alpha _{3}{\hat {V}}-\ln {{\hat {\rho }}_{\hat {V}}}-1\right]}$ Это равенство должно быть выполнено для любой вариации ${\displaystyle \delta {\hat {\rho }}_{\hat {V}}}$, значит, ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}{\hat {H}}_{\hat {V}}+\alpha _{3}{\hat {V}}-\ln {{\hat {\rho }}_{\hat {V}}}-1=0}$ Отсюда находим ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\hat {V}}=\exp {\left(\alpha _{1}-1+\alpha _{2}{\hat {H}}_{\hat {V}}+\alpha _{3}{\hat {V}}\right)}}$ Коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ находятся соответственно из условий на нормировку, энергию и объём системы. Их значения: ${\displaystyle e^{\alpha _{1}-1}={\frac {1}{Q}};\quad \alpha _{2}={\frac {-1}{T}};\quad \alpha _{3}={\frac {-p}{T}}}$ Здесь ${\displaystyle Q}$ — статсумма в изотермо-изобарическом ансамбле: ${\displaystyle Q(T,p,N)=\int \,d{\hat {V}}\int '\,d\Gamma _{\hat {V}}\exp {\left(-{\frac {{\hat {H}}_{\hat {V}}+p{\hat {V}}}{T}}\right)}}$ Главным термодинамическим потенциалом в данном ансамбле является потенциал Гиббса: ${\displaystyle G=-T\ln {Q(T,p,N)}}$ Примечания Здесь штрих у интеграла означает интегрирование по физически различным состояниям Литература Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика. (Москва."Наука": Главная редакция физико-математической литературы,1981. — 352с.) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).