Меню Главная Случайная статья Настройки Икосианы Материал из https://ru.wikipedia.org Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система, обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году[1][2]. В современной терминологии он нашёл задание группы вращений икосаэдра[англ.] с помощью генераторов и связей. Открытие Гамильтона возникло из его попыток найти алгебру «троек» (3-кортежей), которые, как он верил, будут отражать оси координат. Икосианы можно отождествить с перемещениями по вершинам додекаэдра. Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к гамильтоновым циклам и гамильтоновым путям в теории графов[3]. Он также изобрёл игру «Икосиан» для иллюстрации и популяризации своего открытия. Неформальное определение Алгебра основывается на трёх символах, которые являются корнями из единицы, так что последовательное применение любого из них через некоторое число шагов приводит к единице. Это: ${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$ Гамильтон также дал другую связь между символами: ${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$ (В современных терминах, это (2,3,5) группа треугольника.) Операция ассоциативна, но не коммутативна. Она образует группу 60-го порядка, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра, а потому знакопеременной группе пятой степени. Хотя алгебра существует как вполне абстрактное построение, её можно наглядно представить в терминах операций с вершинами додекаэдра. Гамильтон сам использовал плоское представление додекаэдра в качестве основы для игры. Представим себе жука, ползущего вдоль определённого ребра додекаэдра (с помеченными вершинами) в определённом направлении, скажем, от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle C}$. Мы можем представить это как ориентированную дугу ${\displaystyle BC}$. Икосиан ${\displaystyle \iota }$ приравнивается к изменению направления любого ребра, так что жук будет ползти от ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle B}$ (следуя направленной дуге ${\displaystyle CB}$). Икосиан ${\displaystyle \kappa }$ приравнивается к вращению текущего направления жука против часовой стрелки вокруг конечной вершины. В нашем примере это означает изменение текущего направления ${\displaystyle BC}$ на ${\displaystyle DC}$. Икосиан ${\displaystyle \lambda }$ приравнивается к правому повороту в конечной точке, то есть переходе от ${\displaystyle BC}$ к ${\displaystyle CD}$. Наследие Икосианы являются одним из наиболее ранних примеров многих математических идей, включая: Представление и изучение групп с помощью генераторов и связей; Группа треугольника, позднее обобщена в группы Коксетера; Визуализация группы с помощью графа, приведшая к комбинаторной теории групп, а позднее к геометрической теории групп; Гамильтоновы циклы и пути в теории графов[3]; dessin d'enfant[4][5] — смотрите dessin d'enfant: история[англ.] для деталей. Примечания Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12. — С. 446. Архивировано 4 марта 2016 года. Thomas L. Hankins. Sir William Rowan Hamilton. — Baltimore, 1980. — С. 474. — ISBN 0-8018-6973-0. 1 2 Gareth Jones. Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups // Sminaire Lotharingien de Combinatoire. — 1995. — Т. B35d. — С. 4. Архивировано 8 апреля 2017 года.