Меню Главная Случайная статья Настройки Интегральный признак Коши — Маклорена Материал из https://ru.wikipedia.org Интегральный признак Коши — Маклорена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на ${\displaystyle [1,\infty )}$, последний часто может быть найден в явном виде. Содержание 1 Формулировка теоремы 2 Набросок доказательства 3 Полное доказательство 4 Примеры ("эталонные" ряды) 5 Оценка остатка ряда 6 См. также Формулировка теоремы Пусть для функции ${\displaystyle f(x)}$ выполняется: ${\displaystyle \forall x\geqslant 1\quad f(x)>0}$ , т.е. функция принимает положительные значения на промежутке ${\displaystyle [1,+\infty )}$; ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})}$ , т.е. функция является монотонно невозрастающей на ${\displaystyle [1,+\infty )}$; ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n}}$ (соответствие значения функции члену ряда). Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx}$ сходятся или расходятся одновременно. Набросок доказательства Построим на графике ${\displaystyle f(x)}$ ступенчатые фигуры как показано на рисунке. Площадь большей фигуры равна ${\displaystyle S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)}$ . Площадь меньшей фигуры равна ${\displaystyle S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)}$ . Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна ${\displaystyle S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx}$ Получаем ${\displaystyle S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$ Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов. Полное доказательство ${\displaystyle \forall b>1}$ ${\displaystyle f(x)}$ монотонна на ${\displaystyle [1,b]}$, следовательно ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ существует. ${\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}$ ${\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}$, следовательно ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \qquad }$ ${\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}$. Отсюда, если ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx}$ сходится, то ${\displaystyle S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty }$. Поэтому ${\displaystyle S_{n}}$ ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится. Если ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx}$ расходится, то есть ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty }$ , то ${\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,}$ значит ряд расходится. Теорема доказана. Примеры ("эталонные" ряды) Обобщённый гармонический ряд ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}}$ сходится при ${\displaystyle p>1}$ и расходится при ${\displaystyle p\leqslant 1}$, так как ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty }$ (случай ${\displaystyle p=1}$), ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}}$ при ${\displaystyle p>1}$, ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty }$ при ${\displaystyle p<1}$. ${\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}}$ сходится при ${\displaystyle q>1}$ и расходится при ${\displaystyle q\leqslant 1}$. Для обоснования нужно рассмотреть ${\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx}$. На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов. Оценка остатка ряда Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток ${\displaystyle r_{n}}$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения ${\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$ с помощью несложных преобразований получаем: ${\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}$. См. также Признак Абеля Признак сходимости д’Аламбера Радикальный признак Коши Интеграл Коши