Меню Главная Случайная статья Настройки Функция Доусона Материал из https://ru.wikipedia.org В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного: ${\displaystyle F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.}$ Содержание 1 Свойства 2 Обобщения 3 См. также 4 Литература 5 Ссылки Свойства Общие свойства Нечётная функция: ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$. Производная: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)}$. Неопределённый интеграл: ${\displaystyle \int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-x^{2}\right)}$, где ${\displaystyle {}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)}$ - обобщённая гипергеометрическая функция. Является дробной производной обратной экспоненты: ${\displaystyle D^{-1/2}e^{-x}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}F({\sqrt {x}})}$. Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения ${\displaystyle 1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0}$: ${\displaystyle F(0,9241388730)=0,541044246}$. Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS. Имеет точку перегиба: ${\displaystyle F(1,5019752683)=0,4276866160}$ (последовательность 133843 в OEIS). Раскладывается в цепные дроби: ${\displaystyle F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}}$ Функция ошибок Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf: ${\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erf} (ix)}$ где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = i erf(ix). Асимптотика Для |x|, близких к нулю, F(x) x, а для |x| больших, F(x) 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд: ${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots }$ ${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }$ (этот степенной ряд сходится при всех x) и, около ${\displaystyle +\infty }$, имеется асимптотическое разложение: ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}$ (которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд). Альтернативное определение F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1}$ с начальным условием F (0) = 0. Обобщения Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: ${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt}$, тогда вводят "симметричную" её в нотации: ${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$ ; в таких обозначениях: ${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)}$ и ${\displaystyle D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{x^{2}}\mathrm {erf} (x)}$. См. также Интеграл Френеля Функция ошибок Литература Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 Ссылки Cephes — Библиотека математических функций на C и C++ Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Функция ошибок Реализации функции Доусона