Меню Главная Случайная статья Настройки Интегро-дифференциальные уравнения Материал из https://ru.wikipedia.org Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной. ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)}$ где ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}}+{a}_{1}(x){\frac {{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x)}$ называется внешним дифференциальным оператором, а ${\displaystyle {P}_{m}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}}+{b}_{1}(y){\frac {{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y)}$ — внутренним дифференциальным оператором ${\displaystyle K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])}$ — ядро интегро-дифференциального уравнения Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно. Содержание 1 Классификация интегро-дифференциальных уравнений 1.1 Линейные интегральные уравнения 1.1.1 Уравнения Фредгольма 1.1.1.1 Уравнения Фредгольма 1-рода 1.1.1.2 Уравнения Фредгольма 2-рода 1.1.2 Уравнения Вольтерры 1.1.2.1 Уравнения Вольтерры 1-рода 1.1.2.2 Уравнения Вольтерры 2-рода 1.2 Нелинейные интегральные уравнения 2 Методы решения интегро-дифференциальных уравнений 3 См. также 4 Литература Классификация интегро-дифференциальных уравнений Линейные интегральные уравнения Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно: ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$ Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида: ${\displaystyle \lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)}$ Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида: ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$ Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида: ${\displaystyle \lambda \int _{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)}$ Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида: ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$ Нелинейные интегральные уравнения Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно: ${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)}$ Методы решения интегро-дифференциальных уравнений См. также Интегральное уравнение Литература Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.