Йылдырым — воспитанник клуба «Сарыер». 4 мая 2019 года в матче против «Ушак Спортиф» он дебютировал во Второй лиге[4]. 31 октября 2020 года в поединке против «Амеда» Бертуг забил свой первый гол за «Сарыер»[5]. Летом 2021 года Йылдырым перешёл в «Хатайспор»[6]. 14 августа в матче против «Касымпаша» он дебютировал в турецкой Суперлиге[7]. 22 мая 2022 года в поединке против «Гиресунспора» Йылдырым забил свой первый гол за «Хатайспор»[8].
В 2023 году Йылдырым перешёл в «Антальяспор». 6 марта в матче против «Касымпаша» он дебютировал за новую команду[9]. 11 марта в поединке против «Кайсериспора» Бертуг забил свой первый гол за «Атальяспор»[10].