Кайомбо — воспитанник швейцарского клуба «Серветт». В 2022 году Аксель подписал свой первый профессиональный контракт с «Базелем», где начал выступать за дублирующий состав. 2 апреля 2024 года в матче против «Лугано» он дебютировал в швейцарской Суперлиге[1]. Летом того же года Кайомбо на правах аренды перешёл в «Лозанна Уши»[2]. 2 августа в матче против «Туна» он дебютировал в Челлендж-лиге[3]. 17 августа в поединке Кубка Швейцарии против «Эшалена» Аксель забил свой первый гол за «Лозанна Уши»[4].
Летом 2025 года Кайомбо перешёл в австрийский «Штурм», подписав контракт на четыре года[5].