Томас начал карьеру, дебютировав в высшей бельгийской лиги в 2009 году за клуб «Беерсхот». Он стал основным голкипером команды в сезоне 2010/11.
Ауд-Хеверле Лёвен
В августе 2011 году Камински подписал однолетний контракт с «Ауд-Хеверле Лёвен»,[2] а также соглашение с «Андерлехт» на следующий сезон.[3]
Андерлехт
Дебютировал за многократного чемпиона Бельгии 25 августа 2012 года в матче против своего бывшего клуба «Ауд-Хеверле Лёвен». На сезон 2014/15 был отдан в аренду кипрскому «Анортосису». А сезон 2015/16 начал вместе в датским «Копенгагеном»,[4] проведя все матчи на скамейке запасных.
Блэкберн Роверс
26 августа 2020 года Камински присоединился к команде из Чемпионшипа «Блэкберн Роверс», подписав двухлетний контракт.[5]
После переезда в Англию Камински был обязан пройти карантин в рамках принятых в то время мер по борьбе с COVID-19 в Великобритании. Он дебютировал в чемпионате за «Блэкберн» 12 сентября в проигранном «бродягами» матче против «Борнмута» 2:3. К концу сезона 2020-21 Камински провёл 44 матча во всех соревнованиях и был назван болельщиками лучшим игроком кампании.[6][7]
В феврале 2022 года он подписал новый контракт с клубом до лета 2025 года.[8]