Кантеро — воспитанник клубов «Брунете», «Реал Мадрид» и «Леванте». В 2019 году игрок дебютировал за дублирующий состав последнего. 30 апреля 2021 года в матче против «Сельты» он дебютировал в Ла Лиге[1]. В 2022 году клуб вылетел из элиты, но игрок остался в команде. 12 августа в матче против «Уэски» он дебютировал в Сегунде[2]. 27 августа в поединке против «Тенерифе» Алехандро забил свой первый гол за «Леванте»[3].