Карич — воспитанник клубов «Леондинг», «Юниорс» и ЛАСК. 22 мая 2015 года в матче против «Ваккера» он дебютировал во Второй лиге Австрии в составе последних[3]. В том же году Эмир присоединился к дублирующему составу «Ред Булл Зальцбург» за который отыграл три сезона. Летом 2018 года Карич подписал контракт с «Райндорф Альтах». 28 июля в матче против «Маттерсбурга» он дебютировал в австрийской Бундеслиге[4]. 24 ноября 2019 года в матче против «Хартберга» Эмир забил свой первый гол за «Райндорф Альтах»[5].
Летом 2024 года Карич вернулся на родину, подписав контракт с «Штурмом». 4 августа в матче против венского «Рапида» он дебютировал за новую команду[8].