Ru.Wikipedia.Org - Квадратное уравнение

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Квадратное уравнение
Материал из https://ru.wikipedia.org

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

в котором

x

— неизвестное, а коэффициенты

a

b

c

— вещественные или комплексные числа.

Выражение ax + bx + c называется квадратным трёхчленом. Корень уравнения

ax^{2}+bx+c=0

— это значение неизвестного

x

, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

ax^{2}+bx+c

.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

$a$ называют первым или старшим коэффициентом,
$b$ называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при $x$ ,
$c$ называют свободным коэффициентом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент

a

x^{2}+px+q=0,\quad p={\dfrac {b}{a}},\quad q={\dfrac {c}{a}}.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Содержание

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:

ax^{2}+bx=c;

притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме

a,

могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестведействительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения

ax^{2}+bx+c=0

называется величина

{\mathcal {D}}=b^{2}-4ac

Условие	${\mathcal {D}}>0$	${\mathcal {D}}=0$	${\mathcal {D}}<0$
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}$ (1)	$x=-{\frac {b}{2a}}$	—

Формулу (1) можно получить следующим образом:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Умножаем каждую часть на

4a

и прибавляем

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}.

Формула для случая ${\mathcal {D}}=0$ является частным случаем формулы (1):

x={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}.

Для случая ${\mathcal {D}}<0$ отсутствие вещественных корней также следует из формулы (1), поскольку квадратный корень из отрицательного числа не принадлежит множеству вещественных чисел.

Следствия:

трёхчлен $ax^{2}+bx+c$ есть полный квадрат суммы или разности в том и только в том случае, если ${\mathcal {D}}=0$ ;
Дискриминант можно найти по формуле: ${\mathcal {D}}=a^{2}\left(x_{+}-x_{-}\right)^{2}$ ;
$x_{\pm }={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {\mathcal {D}}}}}$ .

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициентеb

Для уравнений вида

ax^{2}+2kx+c=0

, то есть при чётном

b

, где

k={\dfrac {1}{2}}b,

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${\dfrac {\mathcal {D}}{4}}=k^{2}-ac$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${\dfrac {\mathcal {D}}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\dfrac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}$
		D = 0	$x={\dfrac {-k}{a}}$	$x=-k$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

b = 0, c = 0

b=0; c0

b0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat}}

(процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\dfrac {c}{a}},\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\dfrac {c}{a}}}}.\end{aligned}}

Если

-{\dfrac {c}{a}}>0

, то уравнение имеет два действительных корня (разных по знаку), a если

-{\dfrac {c}{a}}<0

, то уравнение не имеет действительных корней.

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned}}

$x=0$ или $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\dfrac {b}{a}}.$

Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня, причём один из них всегда равен нулю.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Если в квадратном уравнении

ax^{2}+bx+c=0

сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:

a+c=b

, то его корнями являются

-1

и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (

-{\frac {c}{a}}