Меню Главная Случайная статья Настройки Квадратура параболы Материал из https://ru.wikipedia.org Квадратура параболы (греч. ) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до н. э. и адресованная его александрийскому знакомому Досифею. Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства. В этих доказательствах Архимед показывает, что площадь сегмента параболы, то есть области между параболой и прямой, равна 4/3 площади определённого треугольника, вписанного в сегмент. Это одна из наиболее известных работ Архимеда. Учёный сумел разбить площадь на бесконечное число треугольников, площади которых образуют геометрическую прогрессию[1]. Он вычислил сумму этого геометрического ряда и доказал, что она точно равна площади сегмента параболы. Это доказательство является примером использования апагогии у математиков древней Греции, и решение Архимеда оставалось непревзойдённым вплоть до развития интегрирования в XVII веке, когда было заменено квадратурной формулой Кавальери[2]. Содержание 1 Основная теорема 2 Структура текста 3 Геометрическое доказательство 3.1 Разбиение параболического сегмента 3.2 Площади треугольников 3.3 Сумма ряда 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Литература для дальнейшего чтения 8 Ссылки Основная теорема Чтобы найти площадь параболического сегмента, Архимед рассматривает определённый вписанный треугольник. Основанием этого треугольника является заданная хорда параболы, а третьей вершиной служит такая точка параболы, что касательная к параболе в этой точке параллельна хорде. Лемма первой работы утверждает, что прямая из третьей вершины, параллельная оси, делит хорду на два равных отрезка. Основная теорема гласит, что площадь параболического сегмента равна 4/3 площади вписанного треугольника. Структура текста Конические сечения, такие, как парабола, были хорошо известны уже во времена Архимеда благодаря работам Менехма за век до этого. Однако до прихода дифференцирования и интегрирования не существовало простых средств нахождения площади конических сечений. Архимед дал первое проверенное решение этой проблемы, сфокусировавшись на площади сегмента, ограниченного параболой и хордой[3]. Архимед дал два доказательства основной теоремы, одно из которых использует абстрактную механику, а другое основано на чистой геометрии. В первом доказательстве Архимед рассматривает рычаг, находящийся в равновесии под действием силы тяжести, с имеющими массу сегментами параболы и треугольником, подвешенными вдоль плеч рычага на определённых расстояниях от точки опоры[4]. Если центр тяжести треугольника известен, условие равновесия рычага даёт площадь сегмента параболы в терминах площади треугольника с тем же основанием и высотой[5]. Архимед здесь отклоняется от процедуры, описанной в трактате О равновесии плоскостей[англ.], в том, что центры тяжести фигур находятся на уровне ниже уровня баланса[6]. Второе и более известное доказательство опирается только на геометрию, в частности на формулу суммы членов геометрической прогрессии. Из двадцати четырёх утверждений первые три приведены без доказательства и ссылаются на работу Евклида «Конические элементы» (утерянная работа Евклида по коническим сечениям). Утверждения 4 и 5 устанавливают элементарные свойства параболы. Утверждения 6–17 представляют собой доказательство основной теоремы на основе механики. Утверждения 18–24 предоставляют геометрическое доказательство. Геометрическое доказательство Разбиение параболического сегмента Основная идея доказательства — разбиение параболического сегмента на бесконечное число треугольников, как показано на рисунке справа. Каждый из этих треугольников вписан в свой сегмент тем же способом, что и синий треугольник. Площади треугольников В утверждениях 18–21 Архимед доказывает, что площадь каждого зелёного треугольника равна одной восьмой площади синего треугольника. С точки зрения современной геометрии, данный факт является следствием того, что ширина зелёного треугольника равна половине ширины синего, а его высота в четыре раза меньше[7]: По тому же принципу площадь каждого жёлтого треугольника равна одной восьмой площади зелёного, площадь каждого из красных треугольников равна одной восьмой площади жёлтого треугольника и так далее. Используя метод исчерпывания, получаем, что общая площадь параболического сегмента задаётся выражением: ${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$ Здесь ${\displaystyle T}$ представляет собой площадь большого синего треугольника, второй член — суммарную площадь двух зелёных треугольников, третий член — суммарную площадь четырёх жёлтых треугольников и так далее. Это выражение можно упростить: ${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.}$ Сумма ряда Для завершения доказательства Архимед показал, что ${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.}$ Формула выше является суммой геометрического ряда, каждый последующий член которого вчетверо меньше предыдущего. Архимед вычислил сумму геометрическим методом[8], проиллюстрированным на рисунке. На рисунке изображён единичный квадрат, который разбивается на бесконечное число меньших квадратов. Каждый последующий фиолетовый квадрат имеет площадь вчетверо меньше площади предыдущего квадрата, а полная сумма площадей фиолетовых квадратов равна сумме ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .}$ Однако набор фиолетовых квадратов равен каждому из наборов жёлтых квадратов, а потому покрывает 1/3 площади единичного квадрата. Отсюда следует, что ряд, приведённый выше, сходится к 4/3 (поскольку 1+1/3 = 4/3). См. также Анализ бесконечно малых Примечания Swain, Dence, 1998, с. 123–130. Cavalieri's quadrature formula (англ.) // Wikipedia. — 2021-02-26. Towne, 2018. Quadrature of the parabola, Introduction . web.calstatela.edu. Дата обращения: 3 июля 2021. Архивировано 6 августа 2019 года. The Illustrated Method of Archimedes (англ.). Scribd. Дата обращения: 3 июля 2021. Архивировано 2 ноября 2021 года. Dijksterhuis, E. J. Quadrature of the Parabola (англ.) 336—345. Archimedes (1987). Дата обращения: 2 ноября 2021. Архивировано 2 ноября 2021 года. Зелёный треугольник имеет половину ширины голубого треугольника по построению. Утверждение относительно высоты вытекает из геометрических свойств параболы и легко доказывается методами современной аналитической геометрии. Строго говоря, Архимед вычислил частичные суммы этого ряда и использовал аксиому Архимеда как аргумент, что частичные суммы становятся произвольно близки к 4/3. Это логически эквивалентно современной идее суммирования бесконечного ряда. Литература Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited // Mathematics Magazine. — 1998. — Т. 71, вып. 2. — С. 123–130. — ISSN 0025-570X. — doi:10.2307/2691014. — . Archimedean Quadrature Redux // Mathematics Magazine. — 2008. — Т. 81, вып. 2. — С. 83–95. — ISSN 0025-570X. — . Towne R. Archimedes in the Clasroom // Master's thesis. — 2018. — Т. John Carroll University. Литература для дальнейшего чтения Sunday Ajose, Roger Nelsen. Proof without Words: Geometric Series // Mathematics Magazine. — June 1994. — Т. 67, вып. 3. — С. 230. — doi:10.2307/2690617. — . Luciano Ancora. Quadrature of the parabola with the square pyramidal number // Archimede. — 2014. — Т. 66, вып. 3. David M. Bressoud. A Radical Approach to Real Analysis. — Mathematical Association of America, 2006. — ISBN 0-88385-747-2. Gordon Swain, Thomas Dence. Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited // Mathematics Magazine. — 1998. — Апрель (т. 71, вып. 2). — С. 123–30. — doi:10.2307/2691014. — . Ссылки Casselman, Bill. Archimedes' quadrature of the parabola . Full text, as translated by T.L. Heath. Xavier University Department of Mathematics and Computer Science. Archimedes of Syracuse . Дата обращения: 2 ноября 2021. Архивировано из оригинала 7 марта 2007 года. Text of propositions 1-3 and 20-24, with commentary. http://planetmath.org/ArchimedesCalculus Архивная копия от 7 ноября 2020 на Wayback Machine