Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Квазимногообразие
Материал из https://ru.wikipedia.org

Квазимногообразие (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») в универсальной алгебре — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором квазитождеств (хорновскими дизъюнктами).

В отличие от многообразий — классов алгебраических систем, аксиоматизируемых тождествами — особую роль в теории квазимногообразий играют теоретико-модельные методы, тогда как многообразия в основном рассматриваются для алгебр (алгебраических систем без отношений в сигнатуре) и изучаются общеалгебраическими методами[1].

Содержание

Определения

Для алгебраической системы с набором операций и отношений квазиатомарными считаются формулы вида:
  1. (или в нотации отношений: ),
  2. ,


где , , а  — символы переменных. (Иногда равенство включают в сигнатуру алгебраической системы как отношение и в этом случае достаточно формул первого вида.)

Квазитождества — формулы вида:


где  — квазиатомарные формулы с переменными . Квазимногообразие — класс алгебраических систем, задаваемый набором квазитождеств.

Характеристические свойства

Всякое многообразие алгебраических систем является квазимногообразием вследствие того, что всякое тождество (из квазиатомарной формулы) можно заменить, например, равносильным ему квазитождеством [2].

Если квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо[3].

Единичная алгебраическая система для заданной сигнатуры , то есть система с носителем из одного элемента , при которой и , является квазимногообразием (и, более того, многообразием). Наименьшее квазимногообразие заданной сигнатуры является многообразием, задаётся тождествами и и состоит из единственной единичной системы. Наибольшее квазимногообразие заднной сигнатуры также является многообразием — классом всех систем заданной сигнатуры, задаваемым тождеством .[4]

Всякое квазимногообразие включает произвольное фильтрованное произведение входящих в него систем[5].

Чтобы класс систем являлся квазимногообразием необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно локально замкнут, мультипликативно замкнут (содержал любое декартово произведение своих систем) и содержал единичную систему. Локальная и мультипликативная замкнутость для этого признака могут быть эквивалентно заменены на замкнутость относительно фильтрованных произведений и наследственность[уточнить][6].

Определяющие соотношения

Свободные композиции
Downgrade Counter