Меню Главная Случайная статья Настройки Псевдохарактер Материал из https://ru.wikipedia.org Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму. Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году[1]. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории ограниченных когомологий[англ.], в симплектической геометрии и в теории представлений групп[2]. Содержание 1 Определение 1.1 Вспомогательные определения 1.1.1 Пространство псевдохарактеров 1.1.2 Усреднение квазихарактеров 1.1.3 Пространство нетривиальных псевдохарактеров 2 Свойства 3 Примеры 3.1 Считающие квазихарактеры 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Определение Функция ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ на группе ${\displaystyle G}$ называется квазихарактером[2] (или квазиморфизмом), если существует такая константа ${\displaystyle D\geq 0}$, что для любых ${\displaystyle x,y\in G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(xy)-f(x)-f(y)|\leq D}$. Или, что то же самое, ${\displaystyle f(x)+f(y)-D\leq f(xy)\leq f(x)+f(y)+D}$. Квазихарактер ${\displaystyle f}$ называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых ${\displaystyle x\in G}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ выполняется ${\displaystyle f(x^{n})=nf(x)}$. Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом. Вспомогательные определения Дефектом квазихарактера ${\displaystyle f}$ называется супремум ${\displaystyle D_{f}:=\sup _{x,y\in G}|f(xy)-f(x)-f(y)|}$. Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером[3]. Два квазихарактера ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен: ${\displaystyle \|f-g\|_{\infty }:=\sup _{x\in G}|f(x)-g(x)|}$. Например, квазихарактер асимптотически эквивалентен нулевому гомоморфизму в том и только в том случае, если он ограничен. Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму. Множество всех квазихарактеров на группе ${\displaystyle G}$ обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов ${\displaystyle G\to \mathbb {R} }$, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры. Дефект является полунормой на пространстве ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$[4]. Таким образом, данное пространство является полунормированным. Множество всех псевдохарактеров на группе ${\displaystyle G}$ является векторным подпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ и обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )}$. Каждый квазихарактер ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим ${\displaystyle {\overline {f}}(x):=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x^{n})}{n}}}$. Тогда данный предел всегда существует, а функция ${\displaystyle {\overline {f}}\colon G\to \mathbb {R} }$ является псевдохарактером, дефект которого не превосходит ${\displaystyle 4D_{f}}$, и выполняется неравенство ${\displaystyle \|f-{\overline {f}}\|_{\infty }\leq D_{f}}$[5]. Более того, функция ${\displaystyle {\overline {f}}}$ является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру ${\displaystyle f}$[4]. Отображение ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше полунормы), является проектором ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)\to {\mathcal {PX}}(G)}$ и называется усреднением[4]. В частности, если квазихарактер ${\displaystyle f}$ является псевдохарактером, то ${\displaystyle {\overline {f}}=f}$. С помощью данного проектора пространство псевдохарактеров ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$ возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру (или, иными словами, по подпространству ограниченных квазихарактеров). Обозначим символами ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {X}}}(G):={\mathcal {X}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {PX}}}(G):={\mathcal {PX}}(G)/{\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} ),}$ соответственно, факторпространства пространств всех квазихарактеров и всех псевдохарактеров по подпространству всех характеров. Полунорма дефекта индуцирует норму на данные пространства. Полученные нормированные пространства являются банаховыми[6]. Свойства Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают: ${\displaystyle f(yxy^{-1})=f(x)}$ для любых ${\displaystyle x,y\in G}$. Таким образом, каждый псевдохарактер является функций классов[англ.], то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы. Для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(yxy^{-1})-f(x)|={\frac {|f(yx^{n}y^{-1})-f(x^{n})|}{n}}\leq {\frac {2\cdot D_{f}}{n}}}$. Переходя к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$, можно заключить, что число слева равно нулю. Если элементы ${\displaystyle x,y\in G}$ коммутируют, то ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$. Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.