Кварацхелия — воспитанник тбилисского «Динамо». Профессиональную карьеру начал в клубе «Шукура»[1]. Во взрослом футболе он дебютировал 28 октября 2021 года в матче Кубка Грузии против команды «Гагра»[2]. В конце сезона не стал продлевать контракт и в статусе свободного агента перешел в клуб «Даугавпилс»[1], за который дебютировал 13 марта 2022 в матче чемпионата против «Тукумс 2000» (2:1)[3]. В конце сезона он вернулся в свой первый профессиональный клуб.