Воспитанник донецкого «Олимпика». Летом 2011 года был приглашён в луганскую «Зарю», в молодёжном составе которой провёл в 70 матчей в которых забил 18 мячей. В сезоне 2012/13 становился чемпионом Украины среди молодёжных команд[2].
В 2014 году по приглашению бывшего тренера «Зари» Вадима Добижи, был отдан в аренду в клуб высшей эстонской лиги «Калев» (Силламяэ). В Эстонии нападающий провёл два сезона. В 2014 году со своей командой становился серебряным призёром чемпионата. В 2015 году забил 19 голов в 33 матчах, став вторым бомбардиром турнира. Дважды принимал участие в розыгрышах Лиги Европы УЕФА (2014/15 — 4 игры, 2015/16 — 2). В общей сложности на счету 23-х летнего форварда 31 гол в 74 играх за «Калев»[2].
Зимой 2016 года Квасов вернулся в «Зарю». В украинской Премьер-лиге дебютировал 6 марта того же года в игре с донецким «Олимпиком», заменив на 89-й минуте Филиппа Будковского[3].