Квашина — воспитанник клуба венской «Аустрии». 22 ноября 2014 года в матче против «Адмиры» он дебютировал в австрийской Бундеслиге[3]. 13 декабря в поединке против «Грёдига» Марко забил свой первый гол за «Аустрию»[4].
Летом 2018 года Квашина вернулся в Австрию, став игроком «Маттерсбурга». 28 июля в матче против «Альтаха» он дебютировал за новую команду[7]. В этом же поединке Марко забил свой первый гол за «Маттерсбург». Летом 2020 года Квашина перешёл в бельгийский «Остенде». 10 августа в матче против «Беерсхот» он дебютировал в Жюпиле лиге[8]. 12 января 2021 года в поединке против «Эйпена» Марко забил свой первый гол за «Остенде»[9]. В начале 2022 года Квашина на правах аренды перешёл в швейцарский «Люцерн». 20 февраля в матче против «Серветта» он дебютировал в швейцарской Суперлиге[10]. В этом же поединке Марко забил свой первый гол за «Люцерн».