Воспитанник киевского «Динамо» и донецкого «Металлурга». В Украинской Премьер-Лиге дебютировал 1 декабря 2012 года в мачте против днепропетровского «Днепра»[4]. С июня 2013 года выступал в луганской «Заре»[5], в основном составе которой дебютировал 24 августа 2014 года в кубковом матче против «Кремня»[6].
25 января 2016 года появилась информация, что Квашук может покинуть луганский клуб и перейти в «Торпедо-БелАЗ», в котором на тот момент находился на просмотре[7]. 24 февраля официально стал игроком жодинского клуба[8], в составе которого в том же сезоне стал обладателем Кубка Белоруссии[9].