Климович — воспитанник клуба «Институто». 29 октября 2023 года в матче против «Велес Сарсфилд» он дебютировал в аргентинской Примере[1]. В 2024 году Климович перешёл в эквадорский «Имбабура» на правах аренды. 4 августа в матче против «Барселоны» из Гуаякиль он дебютировал в эквадорской Примере[2]. В этом же поединке Лука забил свой первый гол за «Имбабура». По окончании аренды Климович вернулся в «Институто».