Меню Главная Случайная статья Настройки Конгруэнтное число Материал из https://ru.wikipedia.org Конгруэнтное число — натуральное число, равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами[1]. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством[2]. Конгруэнтные числа образуют последовательность 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (последовательность A003273 в OEIS) Таблица конгруэнтного числа: n 120[3] —: неконгруэнтное число K: без квадрата Конгруэнтное число Q: Конгруэнтное число с квадратным коэффициентом n 1 2 3 4 5 6 7 8 — — — — K K K — n 9 10 11 12 13 14 15 16 — — — — K K K — n 17 18 19 20 21 22 23 24 — — — Q K K K Q n 25 26 27 28 29 30 31 32 — — — Q K K K — n 33 34 35 36 37 38 39 40 — K — — K K K — n 41 42 43 44 45 46 47 48 K — — — Q K K — n 49 50 51 52 53 54 55 56 — — — Q K Q K Q n 57 58 59 60 61 62 63 64 — — — Q K K Q — n 65 66 67 68 69 70 71 72 K — — — K K K — n 73 74 75 76 77 78 79 80 — — — — K K K Q n 81 82 83 84 85 86 87 88 — — — Q K K K Q n 89 90 91 92 93 94 95 96 — — — Q K K K Q n 97 98 99 100 101 102 103 104 — — — — K K K — n 105 106 107 108 109 110 111 112 — — — — K K K Q n 113 114 115 116 117 118 119 120 — — — Q Q K K Q Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом, число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным. Если q является конгруэнтным числом, то s2q тоже является конгруэнтным для некоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника на s), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его смежного класса в группе ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$. Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное от квадратов число, поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют в виду только свободные от квадратов положительные целые числа. Содержание 1 Задача о конгруэнтном числе 2 Связь с эллиптическими кривыми 3 Современное состояние 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Задача о конгруэнтном числе Площадь прямоугольного треугольника через катеты выражается так: ${\displaystyle S=ab/2}$ Требование прямоугольности треугольника выражается так: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ где a, b — катеты треугольника, c — его гипотенуза. Задача определения, является ли натуральное число S конгруэнтным, сводится к поиску рационального решения этой системы уравнений. Задача определения, является ли данное целое число конгруэнтным, носит имя задача о конгруэнтном числе. Задача (к 2012) пока не решена. Теорема Таннела[англ.] даёт простой критерий проверки для определения, является ли число конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера, которая не доказана. Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пьера Ферма, утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) между последовательными членами арифметической прогрессии квадратов не является полным квадратом, этот факт был уже известен (без доказательства) Фибоначчи[4]. Любой такой шаг прогрессии является конгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведением шага прогрессии на квадрат рационального числа[5]. Однако определение, является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно более простой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которой необходимо проверить лишь конечное число значений параметров[6]. Связь с эллиптическими кривыми Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентен условию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг[2]. Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден во введении в работе Таннела). Предположим, что a,b и c — числа (не обязательно положительные или рациональны), которые удовлетворяют следующим условиям: ${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$ Положим x = n(a+c)/b и y = 2n2(a+c)/b2. Получим ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$ и y не равен 0 (если y = 0, то a = -c, так что b = 0, но (1/2)ab = n нулю не равно, противоречие). Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющими уравнениям выше, и y не равен 0, положим a = (x2 — n2)/y, b = 2nx/y, и c = (x2 + n2)/y. Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям выше. Соответствие между (a,b,c) и (x,y) обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух уравнений для a, b и c и решениями для x и y, где y не равен нулю. В частности, из формул для a, b и c следует, что для рационального n числа a, b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a, b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны. Из уравнения y2 = x3 — xn2 = x(x2 — n2) заметим, что если x и y положительны, то x2 — n2 должно быть положительно, так что формула выше для a даст положительное число.) Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда y2 = x3 — n2x имеет рациональную точку[англ.] с неравным нулю y. Можно показать (как изящное следствие теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что только точки кручения этой эллиптической кривой имеют y, равное 0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг. Современное состояние Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел. Например, известно[7], что для простого числа p выполняется следующее: если p 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2p является. если p 5 (mod 8), то p является конгруэнтным. если p 7 (mod 8), то p и 2p конгруэнтны. Также известно[8], что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любого заданного k имеется бесконечно много свободных от нулей конгруэнтных чисел с k простыми множителями. См. также Пифагоровы числа Примечания MathWorld. 1 2 Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — New York: Springer-Verlag, 1993. — С. 3. — ISBN 0-387-97966-2. последовательность A003273 в OEIS ystein Ore. Number Theory and Its History. — Courier Dover Corporation, 2012. — С. 202—203. — ISBN 9780486136431. Keith Conrad. The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. — 2008. — Т. 2, вып. 2. — С. 58—73. Paul Monsky. Mock Heegner Points and Congruent Numbers // Mathematische Zeitschrift. — 1990. — Т. 204, вып. 1. — С. 45—67. — doi:10.1007/BF02570859. Ye Tian. Congruent Numbers and Heegner Points. — 2012. — arXiv:1210.8231v1. Литература Чистяков И. И. О рациональных треугольниках // Математическое Просвещение. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — Вып. 1. — С. 10—16. Silverberg, Alice. Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (PostScript). — Короткое обсуждение состояния проблемы и много ссылок. Ronald Alter. The Congruent Number Problem // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1980. — Т. 87, вып. 1. — С. 43—45. — doi:10.2307/2320381. — . Chandrasekar V. The Congruent Number Problem // Resonance. — 1998. — Т. 3, вып. 8. — С. 33—45. — doi:10.1007/BF02837344. Jerrold B. Tunnell. A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2 // Inventiones Mathematicae. — 1983. — Т. 72, вып. 2. — С. 323—334. — doi:10.1007/BF01389327. Ссылки Вычислены все конгруэнтные числа до триллиона A Trillion Triangles — mathematicians have resolved the first one trillion cases (conditional on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture). Weisstein, Eric W. Congruent Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.