Меню Главная Случайная статья Настройки Конечное множество Материал из https://ru.wikipedia.org Конечное множество — множество, элементы которого можно пронумеровать числами до некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$. В противном случае множество называется бесконечным. Например: ${\displaystyle \{2,4,6,8,10\}}$ — конечное множество из пяти элементов; число 5 в данном случае — мощность множества. Множество натуральных чисел бесконечно: ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$, поскольку нет такого числа ${\displaystyle n}$, всеми числами вплоть до которого его можно пронумеровать. В символической записи, множество ${\displaystyle X}$ называется конечным, если взаимно-однозначно соответствует множеству ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ при некотором неотрицательном целом ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle \ n}$ в этом случае является мощностью множества ${\displaystyle X}$, что записывается как ${\displaystyle |X|=n}$[1]. Пустое множество является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, ${\displaystyle |\varnothing |=0}$. Существуют и другие определения конечного множества: множество конечно, если оно индуктивно; множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[2]; множество конечно, если оно нерефлексивно; множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[2]. Проблема определения конечности множеств в общем случае неразрешима (теорема Трахтенброта). Не существует ни самого слабого, ни самого сильного определения конечного множества. Для каждой логической формулы, являющейся определением конечного множества, существует более сильная и более слабая формулы. Существует неограниченное число логических формул, определяющих конечные множества, и среди них неограниченное множество независимых определений. Регулярное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству[1]. Если конечные множества ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ попарно не пересекаются (то есть, ${\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing }$), то мощность их объединения является суммой их мощностей: ${\displaystyle |X_{1}\cup X_{2}\cup \dots \cup X_{n}|=|X_{1}|+|X_{2}|+\dots +|X_{n}|}$. Мощность декартова произведения ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ конечных множеств — произведение их мощностей: ${\displaystyle |X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}|=|X_{1}|\cdot |X_{2}|\cdot {\dots }\cdot |X_{n}|}$. Мощность булеана конечного множества ${\displaystyle X}$ равна ${\displaystyle 2^{|X|}}$. Конечные множества играют центральную роль в направлениях, идентифицируемых как конечная математика и дискретная математика, изучающих конечные структуры с использованием средств и результатов, недоступных в бесконечных случаях: например, в комбинаторике часто используется принцип Дирихле, согласно которому не может существовать инъекция из большего конечного множества в меньшее. Примечания 1 2 Соболева Т. С., Чечкин А. В. Дискретная математика (неопр.). — Академия, 2006. — ISBN 5-7695-2823-0. 1 2 Френкель, 1966, с. 87. Литература