Конюшенко начал заниматься футболом в Киеве. Его первой профессиональной командой была «Нива-Космос» из города Мироновка Киевской области, после которой играл за киевскую «Оболонь». В 1998 году подписал контракт с запорожским «Металлургом», выступавшим в высшей лиге Украины. В феврале 2001 года перешёл в донецкий «Шахтёр», дебютировал 11 марта в матче с «Ворсклой». В составе «Шахтёра» принял участие в двух матчах Лиги чемпионов УЕФА в сезоне 2001/02. В марте 2003 года был отдан в аренду луцкой «Волыни» на полгода. Полуфиналист Кубка Украины 2002/03.
Летом 2003 года Конюшенко перешёл в мариупольский «Ильичёвец», в составе которого сыграл 2 матча в кубке УЕФА в сезоне 2004/05. В сезоне 2007/08 выступал за луганскую «Зарю»[2]. Летом 2008 года перешёл в харьковский «Металлист»[3] на правах свободного агента и взял себе второй номер, который раньше принадлежал не проходившему в основу полузащитнику Роману Бутенко. Вторую половину сезона 2012/2013 провёл в «Полтаве» после чего контракт с футболистом был расторгнут[4].
