Меню Главная Случайная статья Настройки Корреляция Материал из https://ru.wikipedia.org Корреляция (от лат. correlatio «соотношение»), или корреляционная зависимость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми), при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин[1]. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение ${\displaystyle \mathbf {\eta } }$[2] либо коэффициент корреляции ${\displaystyle \mathbf {R} }$ (или ${\displaystyle \mathbf {r} }$)[1]. В случае если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической[3]. Впервые в научный оборот термин корреляция ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века[4]. Содержание 1 Корреляция и взаимосвязь величин 2 Показатели корреляции 2.1 Параметрические показатели корреляции 2.1.1 Ковариация 2.1.2 Линейный коэффициент корреляции 2.2 Непараметрические показатели корреляции 2.2.1 Коэффициент ранговой корреляции Кендалла 2.2.2 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена 2.2.3 Коэффициент корреляции знаков Фехнера 2.2.4 Множественный коэффициент корреляции 2.2.5 Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации) 2.3 Свойства коэффициента корреляции 3 Корреляционный анализ 3.1 Ограничения корреляционного анализа 3.2 Область применения 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Корреляция и взаимосвязь величин Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанёс пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «увеличение количества пожарных приводит к увеличению причинённого ущерба», и тем более не будет успешной попытка минимизировать ущерб от пожаров путём ликвидации пожарных бригад[5]. Корреляция двух величин может свидетельствовать о существовании общей причины, хотя сами явления напрямую не взаимодействуют. Например, обледенение становится причиной как роста травматизма из-за падений, так и увеличения аварийности среди автотранспорта. В этом случае две величины (травматизм из-за падений пешеходов и аварийность автотранспорта) будут коррелировать, хотя они не связаны причинно-следственно друг с другом, а лишь имеют стороннюю общую причину — гололедицу. В то же время, отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи. Например, зависимость может иметь сложный нелинейный характер, который корреляция не выявляет. Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и её направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин. Показатели корреляции Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими — четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена). Параметрические показатели корреляции Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент). Ковариация является совместным центральным моментом второго порядка[6]. Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин[7]: где ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — математическое ожидание (от expected value). Свойства ковариации: Ковариация двух независимых случайных величин ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ равна нулю[8]. Так как ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — независимые случайные величины, то и их отклонения ${\displaystyle \mathbf {X} -\mathbf {E} (X)}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {E} (Y)}$ также независимы. Пользуясь тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей, а математическое ожидание отклонения равно нулю, имеем ${\displaystyle \mathrm {cov} _{XY}=\mathbf {E} \left[(X-\mathbf {E} (X))(Y-\mathbf {E} (Y))\right]=\mathbf {E} \ (X-\mathbf {E} (X))\mathbf {E} (Y-\mathbf {E} (Y))=0.}$ Абсолютная величина ковариации двух случайных величин ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ не превышает среднего геометрического их дисперсий: ${\displaystyle |\mathrm {cov} _{XY}|\leqslant {\sqrt {\mathrm {D} _{X}\mathrm {D} _{Y}}}}$[9].