Меню Главная Случайная статья Настройки Кривая Евдокса Материал из https://ru.wikipedia.org Кривая Евдокса (др.-греч. [] — кривая [линия]) — это кривая с уравнением в декартовых координатах ${\displaystyle x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}$ из которого исключается решение x = y = 0. Содержание 1 Альтернативные параметризации 2 История 3 Свойства 4 Литература 5 Ссылки Альтернативные параметризации В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение ${\displaystyle r=a\sec ^{2}\theta .}$ Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление ${\displaystyle x=a\sec(t),\quad y=a\operatorname {tg} (t)\sec(t).}$ История Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 годы до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба. Свойства Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a, 0). Кривая имеет точки перегиба ${\displaystyle \left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$ (четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к ${\displaystyle x^{2}/a-a/2}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, и, фактически, можно записать ${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},}$ где ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$ является ${\displaystyle n}$-м числом Каталана. Литература J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves (англ.). — Dover Publications, 1972. — P. 141—142. — ISBN 0-486-60288-5. Ссылки O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus" (англ.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.