Меню Главная Случайная статья Настройки Критерий Дарбина — Уотсона Материал из https://ru.wikipedia.org Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Содержание 1 Статистика Дарбина—Уотсона 2 Недостатки 3 h-критерий Дарбина 4 Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных 5 См. также 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Статистика Дарбина—Уотсона Критерий назван в честь Джеймса Дарбина[англ.] и Джеффри Уотсона[англ.]. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле[1][2]: ${\displaystyle {\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle \rho _{1}}$ — коэффициент автокорреляции первого порядка. Подразумевается, что в модели регрессии ${\displaystyle {\vec {Y}}={\boldsymbol {X}}{\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}}$ ошибки специфицированы как ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+v_{t}}$, где ${\displaystyle v_{t}}$ распределено, как белый шум. ${\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{t})=0}$, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } (\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}}$, а ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Corr} } (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1})=\rho }$, где ${\displaystyle |\rho |<1}$. В случае отсутствия автокорреляции ${\displaystyle DW=2}$; при положительной автокорреляции ${\displaystyle DW}$ стремится к нулю а при отрицательной — к 4: ${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}}$ На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины ${\displaystyle DW}$ с теоретическими значениями ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ для заданного числа наблюдений ${\displaystyle n}$, числа независимых переменных модели ${\displaystyle k}$ и уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$. Если ${\displaystyle DW<d_{L}}$, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); Если ${\displaystyle DW>d_{U}}$, то гипотеза не отвергается; Если ${\displaystyle d_{L}<DW<d_{U}}$, то нет достаточных оснований для принятия решений. Когда расчётное значение ${\displaystyle DW}$ превышает 2, то с ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ сравнивается не сам коэффициент ${\displaystyle DW}$, а выражение ${\displaystyle (4-DW)}$[2]. Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают[2]. Недостатки Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков. Даёт достоверные результаты только для больших выборок[2]. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная ${\displaystyle DW}$, была рассчитана Farebrother). Дисперсия коэффициентов будет расти, если ${\displaystyle v}$ имеет распределение, отличающееся от нормального. h-критерий Дарбина Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется ${\displaystyle h}$-критерий Дарбина. ${\displaystyle h}$-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть ${\displaystyle Y_{t-1}}$. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий ${\displaystyle h}$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами[2]: ${\displaystyle h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {\frac {n}{1-n\cdot \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}}},}$ где ${\displaystyle n}$ — число наблюдений в модели; ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной ${\displaystyle Y_{t-1}}$. При увеличении объёма выборки распределение ${\displaystyle h}$-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение ${\displaystyle h}$-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения[3]. Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при ${\displaystyle Y_{t-1}}$ велика, то процедура невыполнима. Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона: ${\displaystyle dw_{p}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=1}^{T}e_{i,\;t}^{2}}}.}$ В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов[4]. См. также Тест Бройша—Годфри Q-тест Льюнга — Бокса Метод Кохрейна — Оркатта Метод рядов Примечания Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с. — ISBN 5-7692-0755-8. 1 2 3 4 5 Ратникова Т. А. Введение в эконометрический анализ панельных данных (неопр.) // Экономический журнал ВШЭ. — 2006. — № 3. — С. 492—519. Архивировано 5 января 2015 года.. Литература Anatolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions). — 2002-2003. Ссылки Значения критерия Дарбина — Уотсона