Меню Главная Случайная статья Настройки Критерий Фридмана Материал из https://ru.wikipedia.org Критерий Фридмана[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления ${\displaystyle c}$ условий измерения (${\displaystyle c\geqslant 3}$) для ${\displaystyle n}$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA. Содержание 1 Задача 2 Проверка гипотезы 3 Примеры 4 Апостериорный анализ 5 Программная реализация 6 Примечания 7 Литература Задача Дана выборка из ${\displaystyle c}$ измерений для каждого из ${\displaystyle n}$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы[2][3]: Условия № объекта ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{11}}$ ${\displaystyle x_{21}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle x_{c1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x_{12}}$ ${\displaystyle x_{22}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle x_{c2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \ddots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1n}}$ ${\displaystyle x_{2n}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle x_{cn}}$ В качестве нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»[2]. Выбирается уровень значимости ${\displaystyle \alpha }$, например, ${\displaystyle \alpha =0,01}$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу). Проверка гипотезы Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги ${\displaystyle r_{ij}}$ объекта ${\displaystyle x_{ij}}$ при ранжировке ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}}$[3]: Ранги № объекта ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r_{11}}$ ${\displaystyle r_{21}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle r_{c1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle r_{22}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle r_{c2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \ddots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r_{1n}}$ ${\displaystyle r_{2n}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle r_{cn}}$ Получим суммы рангов и введём другие обозначения: ${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}}$ ${\displaystyle {\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}}$ Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику: ${\displaystyle S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}}$, которую можно записать также в виде: ${\displaystyle S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)}$ Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое: ${\displaystyle S<S_{\alpha }(n,c)}$ Для малых значений ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle c}$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ (или доверительной вероятности[3] ${\displaystyle 1-\alpha }$). При ${\displaystyle n\geqslant 13}$ и ${\displaystyle c\geqslant 20}$ применима аппроксимация — ${\displaystyle \alpha }$-квантиль распределения хи-квадрат с ${\displaystyle c-1}$ степенями свободы[3]: ${\displaystyle S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)}$ Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации ${\displaystyle \alpha }$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта[3]. Примеры Классические примеры применения: ${\displaystyle n}$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия? Сварные швы, сделанные ${\displaystyle n}$ сварщиками с использованием ${\displaystyle c}$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок? Апостериорный анализ Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)[4], а также Коновер (1971, 1980)[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов[6]. Программная реализация Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R[7] и других[8]). Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS[9] и R[10]. Примечания Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита 1 2 3 Афанасьев, Сивов, 2010. 1 2 3 4 5 Кобзарь, 2006. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6. Friedman Rank Sum Test  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 9 января 2019 года. Friedman's test  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 29 июля 2014 года. Post-hoc comparisons for Friedman test  (неопр.). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано из оригинала 3 ноября 2012 года. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)  (неопр.). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано 13 ноября 2012 года. Литература Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0. Friedman, Milton. The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1937. — December (vol. 32, no. 200). — P. 675—701. — doi:10.2307/2279372. — . Friedman, Milton. A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1939. — March (vol. 34, no. 205). — P. 109. — doi:10.2307/2279169. — . Friedman, Milton. A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings (англ.) // The Annals of Mathematical Statistics[англ.] : journal. — 1940. — March (vol. 11, no. 1). — P. 86—92. — doi:10.1214/aoms/1177731944. — .