В ДЮФЛ выступал за «Княжу» и «Кремень». С 2003 года по 2006 год выступал за днепропетровский «Днепр». В основном играл за дубль и за «Днепр-2». 21 сентября 2005 года сыграл за основную команду «Днепра» в Кубке Украины в матче против клуба «Рава» (0:2).
С лета 2006 года выступал за киевскую «Оболонь». В команде дебютировал 21 июля 2006 года в матче против «Николаева» (7:1), в том матче Куценко отметился забитым голом. В сезоне 2009/10 «Оболонь» вышла в Премьер-лигу[3]. 19 июля 2009 года дебютировал в Премьер-лиге в матче против харьковского «Металлиста» (0:2)[4]. В следующем матче против луганской «Зари» (3:0)[5], Валерий отдал две результативные передачи и сам забил гол с пенальти.
24 июля 2015 подписал контракт с одесским «Черноморцем»[6]. В апреле 2017 года играл в полуфинале Кубка Украины за перволиговый «Николаев»[7]. 8 февраля 2019 года подписал контракт на полгода с азербайджанским клубом «Кешля»[8].
