Куяте — воспитанник клубов «Медин Бамако». В 2013 году он дебютировал за основной состав. В 2015 году Бубакар перешёл в марокканский «Кавкаб». В 2016 году Бубакар подписал контракт с лиссабонским «Спортингом», но для получения игровой практики выступал за команду дублёров. В матче против «Варзима» он дебютировал за дублирующий состав в Сегунда лиге. В начале 2019 года Куяте перешёл во французский «Труа». 1 февраля в матче против «Меца» он дебютировал в Лиге 2[3]. 10 мая в поединке против «Клермона» Бубакар забил свой первый гол за «Труа»[4]. Летом 2020 года Куяте перешёл в «Мец»[5]. Сумма трансфера составила 3 млн евро. 26 сентября в матче против «Марселя» он дебютировал в Лиге 1[6]. 21 февраля 2021 года в поединке против «Ниццы» Бубакар забил свой первый гол за «Мец»[7].