Кёйперс — воспитанник клуба «Стандард» из своего родного города. 3 апреля 2016 года в матче против «Васланд-Беверен» он дебютировал в Жюпиле-лиге[3]. В сезоне 2016/2017 года для получения игровой практики Уго на правах аренды выступал за клуб Второго дивизиона Бельгии «Серен».
Летом 2017 года Кёйперс перешёл в греческий «Эрготелис». 29 октября в матче против «Калитеи» он дебютировал во Втором дивизионе Греции[4]. 5 ноября 2017 года в поединке против «Киссамикоса» Уго забил свой первый гол за «Эрготелис»[5]. По итогам сезона он стал лучшим бомбардиром команды и вторым лучшим бомбардиром турнира.
Летом 2019 года Кёйперс перешёл в «Олимпиакос», но для получения игровой практики отдал его в аренду во французский «Аяччо».
Летом 2021 года Кёйперс вернулся в Бельгию, подписав контракт с «Мехеленом» на четыре сезона с опцией продления ещё на один сезон[6].
Летом 2022 года Кёйперс перешёл в «Гент», подписав контракт на четыре сезона[7]. По итогам сезона 2022/23 он стал лучшим бомбардиром чемпионата Бельгии.
6 февраля 2024 года Кёйперс перешёл в клуб MLS «Чикаго Файр», подписав в качестве назначенного игрока контракт до конца сезона 2026 с опцией продления на сезон 2027[8]. Трансфер, оцениваемый в сумму 12 млн долларов и ещё 2 млн долларов в виде бонусов, стал самым крупным приобретением в истории американского клуба[9]. В MLS он дебютировал 24 февраля в матче стартового тура сезона 2024 против «Филадельфии Юнион»[10].