Меню Главная Случайная статья Настройки Лемма Ферма Материал из https://ru.wikipedia.org Лемма Ферма — одно из базовых утверждений классического анализа: производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Выдвинуто Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[1]; у Ньютона этот факт упоминался как «принцип остановки»[2]: «когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад». В современной нотации для функции ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, имеющей во внутренней точке области определения ${\displaystyle x\in M^{0}}$ локальный экстремум и имеющей односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$ (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом: если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимума, то ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0}$; если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума, то ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0}$. В частности, если функция ${\displaystyle f}$ имеет в ${\displaystyle x_{0}}$ производную, то ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$. Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть точкой перегиба). Примеры Для ${\displaystyle f(x)=|x|}$ точка ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум, и: ${\displaystyle f'_{+}(0)=1\geqslant 0}$, ${\displaystyle f'_{-}(0)=-1\leqslant 0}$ (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x=0}$). Для ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ точка ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум, и ${\displaystyle f'(0)=0}$. Для ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ производная в нуле обращается в нуль (${\displaystyle f'(0)=0}$), но точка ${\displaystyle x=0}$ не является точкой локального экстремума. Примечания Исаак Ньютон. Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания). Архивировано 27 февраля 2011 года. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 17 января 2011. Архивировано 27 февраля 2011 года.