Меню Главная Случайная статья Настройки Лемма Шварца Материал из https://ru.wikipedia.org Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя. Названа в честь Карлa Шварцa. Формулировка Пусть ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$ — единичный круг на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Далее, пусть функция ${\displaystyle f}$ аналитична в ${\displaystyle \Delta }$ и удовлетворяет двум условиям: ${\displaystyle f(0)=0}$; ${\displaystyle f(\Delta )\subset {\overline {\Delta }}}$, или, что равносильно, ${\displaystyle |f(z)|\leqslant 1}$. Тогда: ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}$ в ${\displaystyle \Delta }$; ${\displaystyle |f'(0)|\leqslant 1}$. Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид ${\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }z}$ , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция ${\displaystyle f(z)/z}$ будет аналитичной при ${\displaystyle |z|<1}$ и применения к ней принципа максимума для гармонических функций. Вариации и обобщения Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика. Литература Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.