Меню Главная Случайная статья Настройки Лемниската Бернулли Материал из https://ru.wikipedia.org Лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной. Содержание 1 История 2 Уравнения 3 Свойства 3.1 Свойства, верные для произвольных овалов Кассини 3.2 Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей 3.3 Собственные свойства 4 Построения 4.1 При помощи секущих (способ Маклорена) 4.2 Шарнирные методы 4.2.1 Вариант первый 4.2.2 Вариант второй 4.3 При помощи сплайна NURBS 5 Обобщения 6 См. также 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки История Название происходит от др.-греч.  — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году. Уравнения Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется ${\displaystyle 2c}$, расположены они на оси ${\displaystyle OX}$, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату: параметрическое в прямоугольных координатах: ${\displaystyle x={\frac {c{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {c{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};}$ в прямоугольных координатах: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2});}$ в подерных координатах[3]: ${\displaystyle pa^{2}=r^{3}.}$ Фокусы лемнискаты — ${\displaystyle F_{1}(-c;0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(c;0)}$. Возьмём произвольную точку ${\displaystyle M(x;y)}$. Произведение расстояний от фокусов до точки ${\displaystyle M}$ есть ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$, и по определению оно равно ${\displaystyle c^{2}}$: ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}}$ Возводим в квадрат обе части равенства: ${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}}$ Раскрываем скобки в левой части: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}}$ Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0}$ Выносим общий множитель и переносим: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$ Далее можно сделать замену ${\displaystyle a^{2}=2c^{2}}$, хотя это не обязательно: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ В данном случае ${\displaystyle a}$ — радиус окружности, описывающей лемнискату. Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение: ${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$