Меню Главная Случайная статья Настройки Линейная интерполяция Материал из https://ru.wikipedia.org Линейная интерполяция — интерполяция алгебраическим двучленом ${\displaystyle P_{1}(x)=ax+b}$ функции ${\displaystyle f(x),}$ заданной в двух точках ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией. Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона. Геометрическая интерпретация Геометрически это означает замену графика функции ${\displaystyle f(x)}$ прямой, проходящей через точки ${\displaystyle \left[x_{0},f(x_{0})\right]}$ и ${\displaystyle \left[x_{1},f(x_{1})\right]}$. Уравнение такой прямой имеет вид: ${\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},}$ отсюда для ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]:}$ ${\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=}$ ${\displaystyle =f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}$ Это и есть формула линейной интерполяции, при этом: ${\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x),}$ где ${\displaystyle R_{1}(x)}$ — погрешность формулы линейной интерполяции. Если интерполируемая функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то: ${\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}$ При этом, исходя из теоремы Ролля, справедлива оценка ошибки интерполяции: ${\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}};}$ ${\displaystyle M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}$ Применение Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции. Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции. См. также Билинейная интерполяция Интерполяция алгебраическими многочленами Обратная матрица