Меню Главная Случайная статья Настройки Матрица Тёплица Материал из https://ru.wikipedia.org Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$, то есть выполняется соотношение: ${\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}}$. Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица. Пример Матрица 45: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}}$ Содержание 1 Свойства 2 См. также 3 Примечания 4 Литература Свойства Две матрицы Тёплица можно сложить за ${\displaystyle O(n)}$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за ${\displaystyle O(n^{2})}$ операций. Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида ${\displaystyle Ax=b}$, где ${\displaystyle A}$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время ${\displaystyle O(n^{2})}$[1][2]. Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей. См. также Циркулянт Ганкелева матрица Примечания Krishna H., Wang Y.. The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable (англ.) // SIAM Journal on Numerical Analysis[англ.]. — 1993. — Vol. 30, iss. 5. — P. 1498—1508. — doi:10.1137/0730078. Блейхут Р. Э.. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Пер. с англ. И. И. Грушко. — М.: Мир, 1989. — 448 с. — ISBN 5-09-001009-2. Литература Gray R. M.. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review // Foundations and Trends in Communications and Information Theory. — 2006. — Vol. 2, № 3. — P. 155—239. — doi:10.1561/0100000006. Бабенко К. И. О тёплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, вып. 1(247). — С. 171—178. Пустыльников Л. Д.. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, вып. 4(238). — С. 53—84.