Меню Главная Случайная статья Настройки Мера Радона Материал из https://ru.wikipedia.org Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной. Содержание 1 Определение 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства 3.1 Метрика Радона 3.2 Интегрирование 4 Литература 5 Ссылки Определение Пусть есть мера на сигма-алгебре борелевских множеств в хаусдорфовом топологическом пространстве X. Мера называется внутренне регулярной, если для любого борелевского множества B, (B) совпадает с супремумом (K) для компактных подмножеств K в B. Мера называется внешней регулярной, если для любого борелевского множества B, (B) является инфимумом (U) по всем открытым множествам U, содержащим B. Мера называется локально конечной, если каждая точка в X имеет окрестность U, для которой значение (U) конечно. (Если локально конечна, то конечна на компактных множествах.) Мера называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна. Замечание Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова «компактный» на «замкнутый и компактный» везде, но это обобщение пока не имеет приложений. Примеры Примеры мер Радона: Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная на борелевские подмножества); Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе; Мера Дирака на любом топологическом пространстве; Гауссовы меры на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с его борелевской сигма-алгеброй; Вероятностные меры на -алгебре борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, например, меру Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1]. Следующие меры не являются мерами Радона: Считающая мера на евклидовом пространстве не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной. Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка является компактным топологическим пространством. Мера, которая равна 1 на любом множестве, содержащем несчётное замкнутое множество, и 0 в противном случае, является борелевской, но не является мерой Радона. Пусть X — это множество [0,1), оснащённое топологией стрелки. Мера Лебега на этом топологическом пространстве не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна. Последнее следует из того, что в этой топологии компактные множества не более чем счётны. Стандартная мера произведения на ${\displaystyle (0,1)^{\kappa }}$ с несчётным ${\displaystyle \kappa }$ — не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1. Свойства Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство, — меру Радона на ${\displaystyle X}$. Мера задаёт линейный функционал на пространстве всех финитных функций на X, то есть непрерывных функций с компактным носителем: ${\displaystyle I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu }$ Более того: Этот функционал полностью определяет саму меру. Этот функционал непрерывен и положителен. Положительность означает, что ${\displaystyle I(f)\geqslant 0}$, если ${\displaystyle f\geqslant 0}$. Метрика Радона Конусу всех мер Радона на ${\displaystyle X}$ можно придать структуру полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$, определяется следующим образом: ${\displaystyle \rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}-\mu _{2})(x)\right\},}$ где супремум берётся по всем непрерывным функциям ${\displaystyle f\colon X\to [-1,1]}$ Эта метрика называется метрикой Радона. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью. Пространство Радоновых вероятностных мер на ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},}$ не является секвециально компактным по отношению к этой метрике, то есть не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится. Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер: ${\displaystyle \rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu }$ Обратное неверно в общем случае. Интегрирование Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) производится в несколько шагов: Определяется верхний интеграл *(g) полунепрерывных снизу положительных (вещественных) функций g как супремум (возможно, бесконечный) положительных чисел (h) для финитных непрерывных функций hg. Определяется верхний интеграл *(f) для произвольной положительной вещественнозначной функции f как инфимум верхних интегралов *(g) для полу-непрерывных снизу функций gf. Определяется векторное пространство F = F(Х;) как пространство всех функций f на X, для которых верхний интеграл *(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полунорму на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой. Определяется пространство L1(X,) интегрируемых функций как замыкание в F пространства непрерывных финитных функций. Определяется интеграл для функций из L1(X,) через расширение по непрерывности (после проверки того, что непрерывна относительно топологии L1(X,)). Определяется мера множества как интеграл (когда он существует) функции индикатора множества. Можно убедиться, что эти действия дают теорию, идентичную той, что начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству в X. Литература Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. Ссылки