• 1 Математический метод
  • 1.1 Алгоритм
• 2 Программная реализация
  • 2.1 JavaScript
  • 2.2 Реализация на языке C
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

${\displaystyle \sigma _{w}^{2}(t)=\omega _{1}(t)\sigma _{1}^{2}(t)+\omega _{2}(t)\sigma _{2}^{2}(t)}$,

${\displaystyle \sigma _{b}^{2}(t)=\sigma ^{2}-\sigma _{w}^{2}(t)=\omega _{1}(t)\omega _{2}(t)\left[\mu _{1}(t)-\mu _{2}(t)\right]^{2}}$

1. Вычислить гистограмму ${\displaystyle p(l)}$ изображения и частоту ${\displaystyle N(l)}$ для каждого уровня интенсивности изображения ${\displaystyle G}$.
2. Вычислить начальные значения для ${\displaystyle \omega _{1}(0),\omega _{2}(0)}$ и ${\displaystyle \mu _{1}(0),\mu _{2}(0).}$
3. Для каждого значения ${\displaystyle t={\overline {1,max(G)}}}$ — полутона — горизонтальная ось гистограммы:
   • Обновляем ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ и ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$;
   • Вычисляем минимизацию дисперсии внутри класса: ${\displaystyle \sigma _{b}^{2}(t)=\omega _{1}(t)\omega _{2}(t)\left[\mu _{1}(t)-\mu _{2}(t)\right]^{2}}$;
   • Если ${\displaystyle \sigma _{b}^{2}(t)}$ больше, чем имеющееся, то запоминаем ${\displaystyle \sigma _{b}^{2}}$ и значение порога ${\displaystyle t}$, ведь искомый порог соответствует максимуму , иначе повторяем действие 3.
4. Искомый порог соответствует максимуму ${\displaystyle \sigma _{b}^{2}(t).}$
5. Вычисляем итеративно обновляемое среднее арифметическое класса ${\displaystyle \mu _{i}}$:
   • ${\displaystyle N_{T}=\sum _{i=0}^{max(G)}{p(i)}}$,
   • ${\displaystyle \omega _{1}(t)={{\sum _{i=0}^{t-1}{p(i)}} \over {N_{T}}}={\sum _{i=0}^{t-1}{N(i)}},\quad \omega _{2}(t)=1-\omega _{1}(t)}$,
   • ${\displaystyle \mu _{T}={{\sum _{i=0}^{max(G)}{i\cdot p(i)}} \over {N_{T}}}={\sum _{i=0}^{max(G)}{i\cdot N(i)}},}$
   • ${\displaystyle \mu _{1}(t)={{\sum _{i=0}^{t-1}{i\cdot p(i)}} \over {N_{T}\cdot \omega _{1}(t)}}={{\sum _{i=0}^{t-1}{i\cdot N(i)}} \over {\omega _{1}(t)}},\quad \mu _{2}(t)={{\mu _{T}-\mu _{1}(t)\cdot \omega _{1}(t)} \over {\omega _{2}(t)}}.}$

function otsu(histogram, pixelsNumber) {
	var sum = 0
	  , sumB = 0
	  , wB = 0
	  , wF = 0
      , mB
	  , mF
	  , max = 0
	  , between
	  , threshold = 0;
	for (var i = 0; i < 256; ++i) {
      wB += histogram[i];
      if (wB == 0)
        continue;
      wF = pixelsNumber - wB;
      if (wF == 0)
        break;
      sumB += i * histogram[i];
      mB = sumB / wB;
      mF = (sum - sumB) / wF;
      between = wB * wF * Math.pow(mB - mF, 2);
      if (between > max) {
        max = between;
        threshold = i;
      }
    }
    return threshold;
}

// To test: open any image in browser and run code in console
var im = document.getElementsByTagName('img')[0]
  , cnv = document.createElement('canvas')
  , ctx = cnv.getContext('2d');
cnv.width = im.width;
cnv.height = im.height;
ctx.drawImage(im, 0, 0);
var imData = ctx.getImageData(0, 0, cnv.width, cnv.height)
  , histogram = Array(256)
  , i
  , red
  , green
  , blue
  , gray;
for (i = 0; i < 256; ++i)
	histogram[i] = 0;
for (i = 0; i < imData.data.length; i += 4) {
  red = imData.data[i];
  blue = imData.data[i + 1];
  green = imData.data[i + 2];
  // alpha = imData.data[i + 3];
  // https://en.wikipedia.org/wiki/Grayscale
  gray = red * .2126 + green * .7152 + blue * .0722;
  histogram[Math.round(gray)] += 1;
}
var threshold = otsu(histogram, imData.data.length / 4);
console.log("threshold =%s", threshold);
for (i = 0; i < imData.data.length; i += 4) {
  imData.data[i] = imData.data[i + 1] = imData.data[i + 2] =
    imData.data[i] >= threshold ? 255 : 0;
  // opacity 255 = 100%
  imData.data[i + 3] = 255;
}
ctx.putImageData(imData, 0, 0);
document.body.appendChild(cnv);
console.log("finished");

// Количество уровней интенсивности у изображения.
// Стандартно для серого изображения -- это 256. От 0 до 255.
const int INTENSITY_LAYER_NUMBER = 256;

// Возвращает гистограмму по интенсивности изображения от 0 до 255 включительно
void calculateHist(const IMAGE *image, const int size, int* hist) {
    // Иницилизируем гистограмму нулями
    memset(hist, 0, INTENSITY_LAYER_NUMBER * sizeof(*hist));

    // Вычисляем гистограмму
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        ++hist[image[i]];
    }
}

// Посчитать сумму всех интенсивностей
int calculateIntensitySum(const IMAGE *image, const int size) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        sum += image[i];
    }

    return sum;
}

// Функция возвращает порог бинаризации для полутонового изображения image с общим числом пикселей size.
// const IMAGE *image содержит интенсивность изображения от 0 до 255 включительно.
// size -- количество пикселей в image.
int otsuThreshold(const IMAGE *image, const int size) {
    int hist[INTENSITY_LAYER_NUMBER];
    calculateHist(image, size, hist);

    // Необходимы для быстрого пересчёта разности дисперсий между классами
    int all_pixel_count = size;
    int all_intensity_sum = calculateIntensitySum(image, size);

    int best_thresh = 0;
    double best_sigma = 0.0;

    int first_class_pixel_count = 0;
    int first_class_intensity_sum = 0;

    // Перебираем границу между классами
    // thresh < INTENSITY_LAYER_NUMBER - 1, т.к. при 255 в ноль уходит знаменатель внутри for
    for (int thresh = 0; thresh < INTENSITY_LAYER_NUMBER - 1; ++thresh) {
        first_class_pixel_count += hist[thresh];
        first_class_intensity_sum += thresh * hist[thresh];

        double first_class_prob = first_class_pixel_count / (double) all_pixel_count;
        double second_class_prob = 1.0 - first_class_prob;

        double first_class_mean = first_class_intensity_sum / (double) first_class_pixel_count;
        double second_class_mean = (all_intensity_sum - first_class_intensity_sum) 
            / (double) (all_pixel_count - first_class_pixel_count);

        double mean_delta = first_class_mean - second_class_mean;

        double sigma = first_class_prob * second_class_prob * mean_delta * mean_delta;

        if (sigma > best_sigma) {
            best_sigma = sigma;
            best_thresh = thresh;
        }
    }

   return best_thresh;
}

1. ^{1 2} N. Otsu. A threshold selection method from gray-level histograms (англ.) // IEEE Trans. Sys., Man., Cyber. : journal. — 1979. — Vol. 9. — P. 62—66.
2. Ping-Sung Liao and Tse-Sheng Chen and Pau-Choo Chung. A Fast Algorithm for Multilevel Thresholding (неопр.) // J. Inf. Sci. Eng.. — 2001. — Т. 17. — С. 713—727.

• Lecture notes on thresholding — covers the Otsu method.