Меню Главная Случайная статья Настройки Система Трахтенберга Материал из https://ru.wikipedia.org Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере. Состоит из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел и другого. Содержание 1 Общее умножение 2 Частные правила умножения 2.1 Умножение на 11 2.2 Умножение на 12 2.3 Умножение на 13 2.4 Умножение на 14 2.5 Умножение на 17 3 Другие методы 4 В культуре 5 Литература Общее умножение Пусть даны два числа — ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, выглядящие в десятичной записи как ${\displaystyle \ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ и ${\displaystyle \ldots b_{2}b_{1}b_{0}}$. Стандартный алгоритм умножения ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ предписывает умножить ${\displaystyle a}$ на все разряды ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots }$ по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать ${\displaystyle n}$-ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ${\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$, не записывая промежуточные вычисления. Действительно, разложим ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}10^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}10^{j}}$ по дистрибутивности: слагаемые ${\displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}}$ с ${\displaystyle i+j<n}$ влияют на разряд ${\displaystyle 10^{n}}$ только в виде переноса, а с ${\displaystyle i+j>n}$ — вообще не влияют. Например, умножим 12345 на 21. перенос ${\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$ Всего Цифра 0 5*1 5 5 0 4*1+5*2 14 4 1 3*1+4*2 11 2 1 2*1+3*2 8 9 0 1*1+2*2 5 5 0 1*2 2 2 Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат. Частные правила умножения Умножение на 11 Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 3425  11 = 37675 3425  11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675 Умножение на 12 Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 2413  12 = 28956 2413  12 = (02+2)(22+4)(42+1)(12+3)(32+0) = 28956 Умножение на 13 Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 5876  13 = 76388 5876  13 = (03+5)(53+8)(83+7)(73+6)(63+0) = 76388 Умножение на 14 Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 4859  14 = 68026 4859  14 = (04+4)(44+8)(84+5)(54+9)(94+0) = 68026 Умножение на 17 Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд. Пример: 5739  17 = 97563 5739  17 = (07+5)(57+7)(77+3)(37+9)(97+0) = 97563 Другие методы