Меню Главная Случайная статья Настройки Метод фиктивных областей Материал из https://ru.wikipedia.org Метод фиктивных областей — метод приближённого решения задач математической физики в геометрически сложных областях, основанный на переходе к задаче в геометрически более простой области (как правило, многомерный параллелепипед), целиком содержащей исходную.[1] Преимуществом этого метода является удобство составления универсальных программ для численного решения широкого класса краевых задач математической физики, которые перестают зависеть от конкретного вида рассматриваемой области.[2] Недостатком этого метода является низкая точность приближенного решения[3] и сложность создания разностных схем и численного решения задач.[2] Содержание 1 Пример 1.1 Вариант решения с продолжением по старшим коэффициентам 1.2 Вариант решения с продолжением по младшим коэффициентам 2 Примечания 3 Литература Пример Рассмотрим задачу нахождения неизвестной функции ${\displaystyle u(x)}$ исходя из дифференциального уравнения: ${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$ с краевыми условиями: ${\displaystyle u(0)=0,u(1)=0}$ Для решения задачи рассмотрим фиктивную область ${\displaystyle 0<x<2}$. Обозначим как ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ приближённое решение задачи в фиктивной области. Здесь ${\displaystyle \epsilon }$ - малый параметр. Вариант решения с продолжением по старшим коэффициентам В этом случае ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ является решением дифференциального уравнения: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$ Ступенчатый коэффициент ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$ вычисляется следующим образом: ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$ Правую часть уравнения (2) представим в виде: ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)}$ Граничные условия для уравнения (2): ${\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0}$ При ${\displaystyle x=1}$ необходимо задать условия "сшивки": ${\displaystyle [u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$ где обозначение ${\displaystyle [\cdot ]}$ означает "разрыв": ${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)}$ Решение поставленной задачи имеет вид: ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)={\begin{cases}x(1+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}\epsilon ^{2}-x),&0<x<1\\(2-x)(c_{0}\epsilon ^{2}(x-1)+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}),&1<x<2\end{cases}}}$ Сравнивая его с точным решением уравнения (1) ${\displaystyle u(x)=x(1-x)}$, получаем оценку ошибки: ${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$ Вариант решения с продолжением по младшим коэффициентам В этом случае ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ является решением дифференциального уравнения: ${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$ Здесь ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$ определено как в уравнении (3), коэффициент ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$ вычисляются как: ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}}$ Граничные условия для уравнения (4) такие же как и для уравнения (2). Условия сопряжения в точке ${\displaystyle x=1}$: ${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$ Ошибка решения: ${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$ Примечания Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М., Наука, 1980. - c. 130-136 1 2 Вабищевич, 1991, с. 6. Вабищевич, 1991, с. 5. Вабищевич, 1991, с. 12-16. Литература Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. — М.: МГУ, 1991. — 156 с. — ISBN 5-211-01578-9.