Меню Главная Случайная статья Настройки Метрика Леви — Прохорова Материал из https://ru.wikipedia.org Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви[англ.] (определённой Полем Леви в 1937 году). Определяется на пространстве ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$, где ${\displaystyle (M,d)}$ — метрическое пространство, а ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества ${\displaystyle A\subseteq M}$ определяется эпсилон-окрестность ${\displaystyle A}$ как: ${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}$, где ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ — открытый шар радиусом ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle p}$. Метрика ${\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}$ определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ как: ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \forall (A\in {\mathcal {B}}(M))\,\mu (A)\leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ \wedge \ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}}$. Очевидно, что для вероятностных мер ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leqslant 1}$. Свойства Если пространство ${\displaystyle (M,d)}$ является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, ${\displaystyle \pi }$ — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$. Метрическое пространство ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ является сепарабельным тогда и только тогда когда ${\displaystyle (M,d)}$ сепарабельно. Если пространство ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ является полным, то ${\displaystyle (M,d)}$ также является полным пространством. Если у всех мер в ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если ${\displaystyle (M,d)}$ — полное, то ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ — полное. В частности, это тот случай, когда ${\displaystyle (M,d)}$ является сепарабельным. Если ${\displaystyle (M,d)}$ — сепарабельное и полное, подмножество ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \pi }$-замыкание является ${\displaystyle \pi }$-компактным. Если ${\displaystyle (M,d)}$ — сепарабельное, то ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y)\mid {\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}}$, где ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0\mid \mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \}}$ — метрика Цюй Фаня[1][2]. Примечания Dudley, 1989, p. 322 Raev, 1991, p. 159 Литература Леви — Прохорова метрика // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — Стб. 224—225. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Lvy-Prokhorov metric . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.