Митрович — воспитанник клубов «Цибалия» и «Риека». 26 сентября 2018 года в матче Кубка Хорватии против «Радника» Крижевци он дебютировал за основной состав последних[1]. Летом 2019 года Митрович на правах аренды перешёл в «Интер Запрешич». 20 июля в матче против «Горицы» он дебютировал в чемпионате Хорватии[2]. 31 января 2020 года в поединке против «Истра 1961» Йосип забил свой первый гол за «Интер»[3].
Летом 2020 года Митрович перешёл в «Горицу». 22 августа в матче против «Славена Белупо» он дебютировал за новую команду[4]. 12 декабря в поединке против «Осиека» Йосип забил свой первый гол за «Горицу»[5].
Летом 2024 года Митрович подписал контракт с ситтардской «Фортуной». 11 августа в матче против «Гоу Эхед Иглз» он дебютировал в Эредивизи[6]. 16 августа в поединке против «Алмере Сити» Йосип забил свой первый гол за «Фортуну»[7].
15 июля 2025 года перешёл в «Славен Белупо», подписав двухлетний контракт до середины 2027 года с возможностью продления ещё на год[8].