Меню Главная Случайная статья Настройки Теория теплоёмкости Эйнштейна Материал из https://ru.wikipedia.org Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры. При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения: Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом. Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна ${\displaystyle \nu =\omega /2\pi }$. Число осцилляторов в 1 моле вещества равно ${\displaystyle 3N_{a}}$, где ${\displaystyle N_{a}}$ — число Авогадро. Энергия их квантования: ${\displaystyle \varepsilon =n\hbar \omega }$, где ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака). Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана ${\displaystyle N_{n}=N_{0}\exp \left(-{\hbar \omega \over kT}n\right),}$ где ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — термодинамическая температура. Внутренняя энергия 1 моля вещества: ${\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3{\bar {\varepsilon }}N_{a}.}$ Среднее значение энергии одного осциллятора ${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}}$ находится из соотношения для среднего значения: ${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon _{n}N_{n}} \over \sum _{n=0}^{\infty }{\ N_{n}}}}$ и составляет: ${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}={\hbar \omega \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1},}$ отсюда: ${\displaystyle {\bar {U}}_{\mu }=3N_{a}\hbar \omega {1 \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}.}$ Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости: ${\displaystyle C={dU \over dT}=3R\left({\hbar \omega \over kT}\right)^{2}{\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right) \over \left(\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)^{2}}.}$ Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина ${\displaystyle \theta _{E}={\hbar \omega \over k}}$ иногда называется температурой Эйнштейна. Недостатки теории Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна.[1] Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году. См. также Модель Дебая Закон Дюлонга — Пти Закон Джоуля — Коппа Источники Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. Примечания Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. - М., Мир, 1971. - с. 55